借助极限与无穷小的关系，对一点处导数的定义式进行完善

一、前言

我们知道，如果函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某个邻域内有定义（不需要一定在该邻域内可导），且函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导，则：

$$
\begin{aligned}
f ^{\prime} (x_{0}) \\ \\
& = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x) – f(x_{0})}{x – x_{0}} \\ \\
& = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_{0} + \Delta x) – f(x_{0})}{\Delta x}
\end{aligned}
$$

上面的公式也被称作函数在一点处导数的定义式。

但事实上，上面式子中的等号严格的来说是不成立的，且在有些时候，我们不能直接使用上面的式子完成解题。

所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」就借助极限与无穷小的关系，对上面的式子进行完善，以形成一个比较完备的一点处导数的定义式。

二、正文

首先，根据极限与无穷小的关系，如果 $A$ 是函数 $f(x)$ 在 $x \to x_{0}$ 时的极限值，$\textcolor{springgreen}{ \alpha }$ 是 $x \to x_{0}$ 的无穷小量，则：

$$
\lim_{x \to x_{0}} f(x) = A + \textcolor{springgreen}{ \alpha }
$$

因此，如果我们将 $f ^{\prime} (x_{0})$ 看作式子 $\lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x) – f(x_{0})}{x – x_{0}}$ 或者式子 $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_{0} + \Delta x) – f(x_{0})}{\Delta x}$ 的极限值，则准确的一点处导数的定义应为：

$$
\begin{aligned}
f ^{\prime} (x_{0}) + \textcolor{springgreen}{ \alpha } \\ \\
& = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x) – f(x_{0})}{x – x_{0}} \\ \\
& = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_{0} + \Delta x) – f(x_{0})}{\Delta x}
\end{aligned}
$$

其中，$\textcolor{springgreen}{ \alpha }$ 为 $x \to x_{0}$ 或者 $\Delta x \to 0$ 时的无穷小。

虽然在大部分的场景下，是否考虑 $\textcolor{springgreen}{ \alpha }$ 这个无穷小量并不会影响我们得出正确的结论，但是，在一些对极限比较敏感的题目中，如果不考虑 $\textcolor{springgreen}{ \alpha }$ 这个无穷小量，将会导致我们无法确定正确的结论。

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