借助极限与无穷小的关系，对一点处导数的定义式进行完善

一、前言

我们知道，如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义（不需要一定在该邻域内可导），且函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，则：

$$\begin{array}{r}{f}^{\prime }(x_0)\\ \\ & =\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)–f(x_0)}{x–x_0}\\ \\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)–f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}\end{array}$$

上面的公式也被称作函数在一点处导数的定义式。

但事实上，上面式子中的等号严格的来说是不成立的，且在有些时候，我们不能直接使用上面的式子完成解题。

所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」就借助极限与无穷小的关系，对上面的式子进行完善，以形成一个比较完备的一点处导数的定义式。

二、正文

首先，根据极限与无穷小的关系，如果 $A$ 是函数 $f(x)$ 在 $x\to x_0$ 时的极限值，$\alpha$ 是 $x\to x_0$ 的无穷小量，则：

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A+\alpha$$

因此，如果我们将 $f^{\prime }(x_0)$ 看作式子 $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)–f(x_0)}{x–x_0}$ 或者式子 $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)–f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$ 的极限值，则准确的一点处导数的定义应为：

$$\begin{array}{r}{f}^{\prime }(x_0)+\alpha \\ \\ & =\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)–f(x_0)}{x–x_0}\\ \\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)–f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}\end{array}$$

其中，$\alpha$ 为 $x\to x_0$ 或者 $\mathrm{\Delta }x\to 0$ 时的无穷小。

虽然在大部分的场景下，是否考虑 $\alpha$ 这个无穷小量并不会影响我们得出正确的结论，但是，在一些对极限比较敏感的题目中，如果不考虑 $\alpha$ 这个无穷小量，将会导致我们无法确定正确的结论。

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