“两点确定一条直线”的思想在特例法中的应用

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将借助几何中“两点之间确定一条直线”的思想，帮助同学们理解什么时候可以使用特例法求解题目答案。

二、正文

如图 01 中 (1) 和 (2) 两部分所示，“两点之间确定一条直线”这一思想中包含两个主要部分：

1. 需要有两个点；
2. 需要是直线。

对应的，在我们使用“两点之间确定一条直线”的思想和特例法解题的时候，也要包含下面这两个主要部分：

1. 要选取至少两个特例；
2. 代入特列的已知条件（或者式子）不能含有与特例无关的变量。

在上面的表述中，我们需要着重理解的就是每种表述的第 2 部分：“直线”、“不含有与特例无关的变量”。这是因为，仅仅只有两个点，可能并不能确定一条直线——两个点能确定的也可以是一条曲线，例如图 01 中 (3) 和 (4) 两部分所示（可以把图中的直线和曲线都想象为刚性的）。

那么，在具体的题目中，我们怎么才能判断出题目所给的已知条件中“不含有与特例无关的变量”呢？

最简单的方法就是看题干是否存在明显的“不变性”或者很难存在“可变性”，如果是，则就意味着这道题目或许可以使用两次特例法完成求解。

例如，在下面的题目中，从题干的描述中我们可以看到，本题只涉及 “$n$” 这一个变量，是一个典型的“直线型”题干，而不是“曲线型题干”，那么，我们最多只需要选取两个特例，也就是令 $n=2$ 和 $n=3$ 代入其中，就可以基本确定答案。

例题：

已知 $\mathit{A}$ $=$ $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$, 而 $n$ $⩾$ $2$ 为整数，则：

$${\mathit{A}}^n–2{\mathit{A}}^{n–1}=?$$

解析：

由于：

$$\mathit{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$$

所以：

$$\begin{array}{r}{\mathit{A}}^2\\ \\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 2\\ 0& 4& 0\\ 2& 0& 2\end{array}\right)\\ \\ & =2\mathit{A}\end{array}$$

接着：

$$\begin{array}{rl}n=2& \Rightarrow \\ & {\mathit{A}}^n–2{\mathit{A}}^{n–1}\\ & ={\mathit{A}}^2–2\mathit{A}\\ & =\mathit{O}\\ \\ n=3& \Rightarrow {\mathit{A}}^n–2{\mathit{A}}^{n–1}\\ & ={\mathit{A}}^3–2{\mathit{A}}^2\\ & =\mathit{A}({\mathit{A}}^2–2\mathit{A})\\ & =\mathit{O}\\ \end{array}$$

综上，我们可以基本确定：

$${\mathit{A}}^n–2{\mathit{A}}^{n–1}=\mathit{O}$$

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