“两点确定一条直线”的思想在特例法中的应用

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将借助几何中“两点之间确定一条直线”的思想，帮助同学们理解什么时候可以使用特例法求解题目答案。

二、正文

如图 01 中 (1) 和 (2) 两部分所示，“两点之间确定一条直线”这一思想中包含两个主要部分：

1. 需要有两个点；
2. 需要是直线。

对应的，在我们使用“两点之间确定一条直线”的思想和特例法解题的时候，也要包含下面这两个主要部分：

1. 要选取至少两个特例；
2. 代入特列的已知条件（或者式子）不能含有与特例无关的变量。

在上面的表述中，我们需要着重理解的就是每种表述的第 2 部分：“直线”、“不含有与特例无关的变量”。这是因为，仅仅只有两个点，可能并不能确定一条直线——两个点能确定的也可以是一条曲线，例如图 01 中 (3) 和 (4) 两部分所示（可以把图中的直线和曲线都想象为刚性的）。

那么，在具体的题目中，我们怎么才能判断出题目所给的已知条件中“不含有与特例无关的变量”呢？

最简单的方法就是看题干是否存在明显的“不变性”或者很难存在“可变性”，如果是，则就意味着这道题目或许可以使用两次特例法完成求解。

例如，在下面的题目中，从题干的描述中我们可以看到，本题只涉及 “$n$” 这一个变量，是一个典型的“直线型”题干，而不是“曲线型题干”，那么，我们最多只需要选取两个特例，也就是令 $n=2$ 和 $n=3$ 代入其中，就可以基本确定答案。

例题：

已知 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}$, 而 $n$ $\geqslant$ $2$ 为整数，则：

$$
\boldsymbol{A}^{n} – 2 \boldsymbol{A}^{n – 1} = ?
$$

解析：

由于：

$$
\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$

所以：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{yellow}{\boldsymbol{A}^{2}} \\ \\
& = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix} \\ \\
& = \begin{pmatrix}
2 & 0 & 2 \\
0 & 4 & 0 \\
2 & 0 & 2
\end{pmatrix} \\ \\
& = \textcolor{yellow}{2 \boldsymbol{A}}
\end{aligned}
$$

接着：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{orange}{n=2} & \Rightarrow \\
& \boldsymbol{A}^{n} – 2 \boldsymbol{A}^{n – 1} \\
& = \boldsymbol{A}^{2} – 2 \boldsymbol{A} \\
& = \textcolor{springgreen}{ \boldsymbol{O} } \\ \\
\textcolor{orange}{n=3} & \Rightarrow \boldsymbol{A}^{n} – 2 \boldsymbol{A}^{n – 1} \\
& = \boldsymbol{A}^{3} – 2 \boldsymbol{A}^{2} \\
& = \boldsymbol{A} (\boldsymbol{A}^{2} – 2 \boldsymbol{A}) \\
& = \textcolor{springgreen}{ \boldsymbol{O} } \\ \\
\end{aligned}
$$

综上，我们可以基本确定：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{A}^{n} – 2 \boldsymbol{A}^{n – 1} = \boldsymbol{O}
}
$$

---