乘法运算中的矩阵一般不可以“自由流动”，但单位矩阵可以

一、题目

已知 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶矩阵，且：

$A B = E$

则：

$A [E - A {(E + A^{⊤} B^{⊤})}^{- 1} B] B = ?$

难度评级：

二、解析

本题要求解的式子含有很多个括号，对于这样含有括号的题目，我们有两个解题思路：

$✓$ 思路一：将括号外面的内容乘到括号里面，看看是否能简化运算；

$✓$ 思路二：将括号里面的内容化简合并，看看是否能简化运算

分析可知，通过上面的思路一很难化简题目要求解的式子，所以，我们只能尝试使用上面的思路二求解。

由于：

$\begin{aligned} A B = E \\ \Rightarrow & A^{- 1} = B \\ \Rightarrow & B A = E \end{aligned}$

所以：

$A^{⊤} B^{⊤} = (B A)^{⊤} = E^{⊤} = E$

于是：

$\begin{aligned} A [E - A {(E + A^{⊤} B^{⊤})}^{- 1} B] B \\ = & A [E - A {(E + E)}^{- 1} B] B \\ = & A [E - A {(2 E)}^{- 1} B] B \\ = & A [E - A \cdot \frac{1}{2} E^{- 1} B] B \\ = & A [E - A \cdot \frac{1}{2} E B] B \\ = & A [E - \frac{1}{2} E A B] B \\ = & A [E - \frac{1}{2} E E] B \\ = & A [E - \frac{1}{2} E] B \\ = & A \frac{1}{2} E B \\ = & \frac{1}{2} E A B \\ = & \frac{1}{2} E E \\ = & \frac{1}{2} E \end{aligned}$