收敛的数项级数的项会越来越小，但项越来越小的数项级数不一定收敛

一、题目

下面的数项级数是收敛还是发散？

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}+\cdots$$

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二、解析

观察 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$ 这个级数可以发现，随着 $n$ 的增加，其每一项都在变小，而且越来越小，逐渐趋向于 $0$, 那么，是不是能够直接说明 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$ 这个级数是收敛的呢？

答案是：不能。

虽然当 $n\to \mathrm{\infty }$ 的时候，$\frac{1}{n}\to 0$, 但是，我们并不能直接说 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$ 就是一个收敛的数项级数。

同时，对于一个收敛的数项级数，我们对其任意个项添加括号，不会影响整个数项级数的敛散性（如果收敛的话，也不会影响最终收敛的值），因此，只要我们能找出来添加了括号之后形成的新的项是不趋于零的，那么就能证明原来的数项级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$ 是发散而非收敛的。

于是，我们首先将数项级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$ 的前两项括起来：

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}=(1+\frac{1}{2})+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots +\frac{1}{n}+\cdots$$

之后，再将该数项级数的第 $2^k+1$ 项到第 $2^{k+1}$ 项括起来，其中 $k$ $=$ $1$, $2$, $3$, $\cdots$

即：

$$(2^k+1,2^{k+1})\{\begin{array}{l}m=1\Rightarrow (3,4)\\ m=2\Rightarrow (5,8)\\ ⋮\end{array}$$

也就是说，我们需要把下面几项括起来：

$$\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}\\ \\ =& (1+\frac{1}{2})+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+\frac{1}{5}+\cdots \\ \\ –& (\frac{1}{2^m+1}+\cdots +\frac{1}{2^{m+1}})+\cdots \end{array}$$

其中，$\frac{1}{2^m+1}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{1}{2^{m+1}}$ 其实就是：

$$\frac{1}{2^m+1}+\frac{1}{2^m+2}+\frac{1}{2^m+3}+\cdots +\frac{1}{2^{m+1}}$$

而且，$(\frac{1}{2^m+1}+\cdots +\frac{1}{2^{m+1}})$ 这个项中共有 $2^m$ 个子项，因为：

$$\begin{array}{rl}& 2^{m+1}–(2^m+1)+1\\ =& 2^{m+1}–2^m\\ =& 2^m(2–1)\\ =& 2^m\end{array}$$

所以可知：

$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{2^m+1}+\frac{1}{2^m+2}+\frac{1}{2^m+3}+\cdots +\frac{1}{2^{m+1}}\\ \\ ⩾& \frac{1}{2^{m+1}}+\cdots +\frac{1}{2^{m+1}}\\ \\ ⩾& 2^m\cdot \frac{1}{2^{m+1}}=\frac{1}{2}\ne 0\end{array}$$

也就是说，数项级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$ 中存在当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时，不趋于零的项 $(\frac{1}{2^m+1}+\cdots +\frac{1}{2^{m+1}})$, 因此，数项级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$ 发散。

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