收敛的数项级数的项会越来越小，但项越来越小的数项级数不一定收敛

一、题目

下面的数项级数是收敛还是发散？

$$
\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} + \cdots
$$

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二、解析

观察 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 这个级数可以发现，随着 $n$ 的增加，其每一项都在变小，而且越来越小，逐渐趋向于 $0$, 那么，是不是能够直接说明 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 这个级数是收敛的呢？

答案是：不能。

虽然当 $n \rightarrow \infty$ 的时候，$\frac{1}{n} \rightarrow 0$, 但是，我们并不能直接说 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 就是一个收敛的数项级数。

同时，对于一个收敛的数项级数，我们对其任意个项添加括号，不会影响整个数项级数的敛散性（如果收敛的话，也不会影响最终收敛的值），因此，只要我们能找出来添加了括号之后形成的新的项是不趋于零的，那么就能证明原来的数项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 是发散而非收敛的。

于是，我们首先将数项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 的前两项括起来：

$$
\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} = \left( 1 + \frac{1}{2} \right) + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{n} + \cdots
$$

之后，再将该数项级数的第 $2^{\textcolor{orangered}{k}}+1$ 项到第 $2^{\textcolor{orangered}{k+1}}$ 项括起来，其中 $k$ $=$ $1$, $2$, $3$, $\cdots$

即：

$$
(2^{\textcolor{orangered}{k}} + 1, 2^{\textcolor{orangered}{k+1}}) \begin{cases}
m=1 \Rightarrow (3, 4) \\
m=2 \Rightarrow (5, 8) \\
\vdots \\
\end{cases}
$$

也就是说，我们需要把下面几项括起来：

$$
\begin{aligned}
\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} \\ \\
= & \left( 1 + \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) + \frac{1}{5} + \cdots \\ \\
– & \left( \frac{1}{2^{\textcolor{orangered}{m}} + 1} + \cdots + \frac{1}{2^{\textcolor{orangered}{m+1}}} \right) + \cdots
\end{aligned}
$$

其中，$\frac{1}{2^{\textcolor{orangered}{m}} + 1}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{1}{2^{\textcolor{orangered}{m+1}}}$ 其实就是：

$$
\frac{1}{2^{\textcolor{orangered}{m}} + \textcolor{pink}{1}} + \frac{1}{2^{\textcolor{orangered}{m}} + \textcolor{pink}{2}} + \frac{1}{2^{\textcolor{orangered}{m}} + \textcolor{pink}{3}} + \cdots + \frac{1}{2^{\textcolor{orangered}{m+1}}}
$$

而且，$\left( \frac{1}{2^{\textcolor{orangered}{m}} + 1} + \cdots + \frac{1}{2^{\textcolor{orangered}{m+1}}} \right)$ 这个项中共有 $\textcolor{springgreen}{2^{m}}$ 个子项，因为：

$$
\begin{aligned}
& 2^{\textcolor{orangered}{m+1}} – (2^{\textcolor{orangered}{m}} + 1) + \textcolor{tan}{1} \\
= & 2^{\textcolor{orangered}{m+1}} – 2^{\textcolor{orangered}{m}} \\
= & 2^{\textcolor{orangered}{m}} (2 – 1) \\
= & \textcolor{springgreen}{2^{m}}
\end{aligned}
$$

所以可知：

$$
\begin{aligned}
& \frac{1}{2^{\textcolor{orangered}{m}} + \textcolor{pink}{1}} + \frac{1}{2^{\textcolor{orangered}{m}} + \textcolor{pink}{2}} + \frac{1}{2^{\textcolor{orangered}{m}} + \textcolor{pink}{3}} + \cdots + \frac{1}{2^{\textcolor{orangered}{m+1}}} \\ \\
\geqslant & \ \frac{1}{2^{\textcolor{orangered}{m+1}}} + \cdots + \frac{1}{2^{\textcolor{orangered}{m+1}}} \\ \\
\geqslant & \ \textcolor{springgreen}{2^{m}} \cdot \frac{1}{2^{\textcolor{orangered}{m+1}}} = \frac{1}{2} \neq 0
\end{aligned}
$$

也就是说，数项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 中存在当 $n \rightarrow \infty$ 时，不趋于零的项 $\left( \frac{1}{2^{\textcolor{orangered}{m}} + 1} + \cdots + \frac{1}{2^{\textcolor{orangered}{m+1}}} \right)$, 因此，数项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散。

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