平均值不等式的详细证明过程

一、前言

已知 $x_{1}$ , $x_{2}$ , $\dots$ , $x_{n}$ 为 $n$ 个非负实数，则其几何平均值 $\sqrt[n]{x_{1} \times x_{2} \times \dots \times x_{n}}$ 一定小于或等于其算术平均值 $\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}$ , 即：

$\begin{aligned} \sqrt[n]{x_{1} \times x_{2} \times \dots \times x_{n}} ⩽ \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n} \\ \Rightarrow & \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \dots x_{n}} ⩽ \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n} \end{aligned}$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用数学归纳法和递推法两种方法为同学们证明上述不等式。

二、正文

归纳法的证明过程

当 $n$ $=$ $1$ 的时候，要证的不等式显然成立：

$\begin{aligned} x_{1}^{\frac{1}{1}} ⩽ \frac{x_{1}}{1} \\ \Rightarrow & x_{1} ⩽ x_{1} \\ \Rightarrow & x_{1} = x_{1} \end{aligned}$

Warning

易错点：当 $n$ $=$ $1$ 的时候， $\sqrt[n]{x}$ $\neq$ $\sqrt{x}$ , 因为 $\sqrt{x}$ $=$ $\sqrt[2]{x}$
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分析可知，如果我们能证明，假设有 $n - 1$ 个非负实数的时候该不等式成立，并能由此推导出有 $n$ 个非负实数的时候该不等式也成立，那么，我们就相当于可以基于 $n = 1$ 的时候不等式成立，推出 $n = 2$ 的时候不等式也成立，直至推出 $n = n$ 的时候不等式始终成立，从而完成证明。

此外，为了方便证明，我们不妨将非负实数 $x_{1}$ , $x_{2}$ , $\dots$ , $x_{n}$ 按照从小到大的顺序排列。

此时， $x_{n}$ 是这些数字中最大的数字，即：

$\begin{aligned} \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1}}{n - 1} \\ \Rightarrow & \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1}}{n - 1} ⩽ \frac{(n - 1) x_{n}}{n - 1} \\ \Rightarrow & \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1}}{n - 1} ⩽ x_{n} \end{aligned}$

之后，我们假设下式成立：

$\sqrt[n - 1]{x_{1} x_{2} \dots x_{n - 1}} ⩽ \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1}}{n - 1}$

Tip

虽然上面的不等式是假设成立的，但这并不影响我们整个证明逻辑的严谨性：因为，我们已经证明了 $n$ $=$ $1$ 的时候不等式是真的成立的，这个结论不是假设出来的，因此，如果我们能证明 $n$ $=$ $n - 1$ 不等式的成立可以推导出 $n$ $=$ $n$ 时不等式也成立，就说明我们可以由确定成立（而非假设成立）的 $n$ $=$ $1$ 开始，正确推导出 $n$ $=$ $n$ 时不等式也成立的结论。
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为了表述方便，我们首先令：

$I = \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1}}{n - 1}$

综上可得：

$\begin{aligned} \sqrt[n - 1]{x_{1} x_{2} \dots x_{n - 1}} ⩽ \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1}}{n - 1} ⩽ x_{n} \\ \Rightarrow & \sqrt[n - 1]{x_{1} x_{2} \dots x_{n - 1}} ⩽ I ⩽ x_{n} \end{aligned}$

接着，要证不等式 $\sqrt[n]{x_{1} x_{2} \dots x_{n}} ⩽ \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}$ 成立，其实要证下面的不等式成立：

$\begin{aligned} \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \dots x_{n}} ⩽ \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n} \\ \Rightarrow & (x_{1} x_{2} \dots x_{n})^{\frac{1}{n}} ⩽ \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n} \\ \Rightarrow & x_{1} x_{2} \dots x_{n} ⩽ {(\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n})}^{n} \end{aligned}$

又因为：

$\begin{aligned} {(\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n})}^{n} \\ = & {[\frac{\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1}}{n - 1} \cdot (n - 1) + x_{n}}{n}]}^{n} \\ = & {[\frac{I \cdot (n - 1) + x_{n}}{n}]}^{n} \\ = & {[\frac{I n - I + x_{n}}{n}]}^{n} \\ = & {[I - \frac{I - x_{n}}{n}]}^{n} \\ = & {[I + \frac{x_{n} - I}{n}]}^{n} \end{aligned}$

接下来的计算需要用到二项式展开定理：

$\begin{aligned} (a + b)^{n} \\ = & C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} \cdot b^{1} + C_{n}^{2} a^{n - 2} \cdot b^{2} + \dots \\ - & C_{n}^{k} a^{n - k} \cdot b^{k} + \dots + C_{n}^{n} a^{n - n} \cdot b^{n} \\ = & a^{n} + n a^{n - 1} b + \frac{n (n - 1)}{2} a^{n - 2} b^{2} + \dots + b^{n} \end{aligned}$

于是，接下来的计算就是：

$\begin{aligned} {[I + \frac{x_{n} - I}{n}]}^{n} \\ = & I^{n} + n I^{n - 1} (\frac{x_{n} - I}{n}) + \dots + {(\frac{x_{n} - I}{n})}^{n} \\ ⩾ & I^{n} + n I^{n - 1} (\frac{x_{n} - I}{n}) \\ = & I^{n} + I^{n - 1} (x_{n} - I) \\ = & I^{n} + I^{n - 1} \cdot x_{n} - I^{n} \\ = & I^{n - 1} \cdot x_{n} \\ = & {(\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1}}{n - 1})}^{n - 1} \cdot x_{n} \end{aligned}$

可以看到， $\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1}}{n - 1}$ 其实就是 $x_{1}$ , $x_{2}$ , $\dots$ , $x_{n - 1}$ 这几个数字的平均值，因此，根据「荒原之梦考研数学」的《数字的平均值相乘一定不小于每个数字相乘——小数字在乘法中对大数字的“牵制”程度比减法中严重》这篇文章可得下式：

$\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1}}{n - 1} ⩾ x_{1} x_{2} \dots x_{n - 1}$

于是：

${(\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1}}{n - 1})}^{n - 1} \cdot x_{n} ⩾ x_{1} x_{2} \dots x_{n - 1} \cdot x_{n}$

也就是：

$\begin{aligned} {[I + \frac{x_{n} - I}{n}]}^{n} ⩾ x_{1} x_{2} \dots x_{n - 1} \cdot x_{n} \\ \Leftrightarrow & {(\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n})}^{n} ⩾ x_{1} x_{2} \dots x_{n - 1} \cdot x_{n} \end{aligned}$

递推法的证明过程

由前面得计算我们可知：

${(\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n})}^{n} ⩾ {(\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1}}{n - 1})}^{n - 1} \cdot x_{n}$

那么，根据递推证明，我们可得：

${(\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1}}{n - 1})}^{n - 1} ⩾ {(\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1}}{n - 1})}^{n - 2} \cdot x_{n - 1}$

${(\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1}}{n - 1})}^{n - 2} ⩾ {(\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1}}{n - 1})}^{n - 3} \cdot x_{n - 2}$

${(\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1}}{n - 1})}^{n - 3} ⩾ {(\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1}}{n - 1})}^{n - 4} \cdot x_{n - 3}$

$⋮$

于是可得：

$\begin{aligned} {(\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n})}^{n} ⩾ {(\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1}}{n - 1})}^{n - 1} \cdot x_{n} \\ \Rightarrow & {(\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n})}^{n} ⩾ {(\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1}}{n - 1})}^{n - 2} \cdot x_{n - 1} \cdot x_{n} \\ \Rightarrow & {(\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n})}^{n} ⩾ {(\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1}}{n - 1})}^{n - 3} \cdot x_{n - 2} \cdot x_{n - 1} \cdot x_{n} \\ ⋮ \\ \Rightarrow & {(\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n})}^{n} ⩾ {(\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1}}{n - 1})}^{1} \cdot x_{2} \dots x_{n - 1} \cdot x_{n} \\ \Rightarrow & {(\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n})}^{n} ⩾ {(\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1}}{n - 1})}^{0} \cdot x_{1} \cdot x_{2} \dots x_{n} \\ \Rightarrow & {(\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n})}^{n} ⩾ 1 \cdot x_{1} \cdot x_{2} \dots x_{n - 1} \cdot x_{n} \\ \Rightarrow & \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n} ⩾ \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \dots x_{n}} \end{aligned}$

综上可知，平均值不等式得证：

$\sqrt[n]{x_{1} x_{2} \dots x_{n}} ⩽ \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}$

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