平均值不等式的详细证明过程

一、前言

已知 $x_{1}$, $x_{2}$, $\cdots$, $x_{n}$ 为 $n$ 个非负实数，则其几何平均值 $\sqrt[n]{x_{1} \times x_{2} \times \cdots \times x_{n}}$ 一定小于或等于其算术平均值 $\frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n}$, 即：

$$
\begin{aligned}
& \sqrt[n]{x_{1} \times x_{2} \times \cdots \times x_{n}} \leqslant \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{ \ \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}} \leqslant \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} }
\end{aligned}
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用数学归纳法和递推法两种方法为同学们证明上述不等式。

二、正文

归纳法的证明过程

当 $n$ $=$ $\textcolor{orangered}{1}$ 的时候，要证的不等式显然成立：

$$
\begin{aligned}
& x_{1}^{\frac{1}{\textcolor{orangered}{1}}} \leqslant \frac{x_{1}}{\textcolor{orangered}{1}} \\ \\
\Rightarrow & \ x_{1} \leqslant x_{1} \\ \\
\Rightarrow & \ x_{1} = x_{1}
\end{aligned}
$$

Warning

易错点：当 $n$ $=$ $1$ 的时候，$\sqrt[n]{x}$ $\textcolor{orangered}{\neq}$ $\sqrt{x}$, 因为 $\sqrt{x}$ $\textcolor{blue}{=}$ $\sqrt[2]{x}$

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分析可知，如果我们能证明，假设有 $n-1$ 个非负实数的时候该不等式成立，并能由此推导出有 $n$ 个非负实数的时候该不等式也成立，那么，我们就相当于可以基于 $n = 1$ 的时候不等式成立，推出 $n = 2$ 的时候不等式也成立，直至推出 $n = n$ 的时候不等式始终成立，从而完成证明。

此外，为了方便证明，我们不妨将非负实数 $x_{1}$, $x_{2}$, $\cdots$, $x_{n}$ 按照从小到大的顺序排列。

此时，$x_{n}$ 是这些数字中最大的数字，即：

$$
\begin{aligned}
& \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n-1}}{n-1} \\ \\
\Rightarrow & \ \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n-1}}{n-1} \leqslant \frac{({n-1}) x_{n}}{n-1} \\ \\
\Rightarrow & \ \textcolor{yellow}{ \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n-1}}{n-1} \leqslant x_{n} }
\end{aligned}
$$

之后，我们假设下式成立：

$$
\textcolor{yellow}{ \ \sqrt[n – 1]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n – 1}} \leqslant \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n-1}}{n-1} }
$$

Tip

虽然上面的不等式是假设成立的，但这并不影响我们整个证明逻辑的严谨性：因为，我们已经证明了 $n$ $=$ $1$ 的时候不等式是真的成立的，这个结论不是假设出来的，因此，如果我们能证明 $n$ $=$ $n-1$ 不等式的成立可以推导出 $n$ $=$ $n$ 时不等式也成立，就说明我们可以由确定成立（而非假设成立）的 $n$ $=$ $1$ 开始，正确推导出 $n$ $=$ $n$ 时不等式也成立的结论。

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为了表述方便，我们首先令：

$$
\textcolor{pink}{
I = \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n-1}}{n-1} }
$$

综上可得：

$$
\begin{aligned}
& \sqrt[n – 1]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n – 1}} \leqslant \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n-1}}{n-1} \leqslant x_{n} \\ \\
\Rightarrow \ & \textcolor{yellow}{ \sqrt[n – 1]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n – 1}} \leqslant I \leqslant x_{n} }
\end{aligned}
$$

接着，要证不等式 $\textcolor{springgreen}{ \ \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}} \leqslant \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} }$ 成立，其实要证下面的不等式成立：

$$
\begin{aligned}
& \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}} \leqslant \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} \\ \\
\Rightarrow & \ (x_{1} x_{2} \cdots x_{n})^{\frac{1}{n}} \leqslant \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} \\ \\
\Rightarrow & \ \textcolor{springgreen}{ x_{1} x_{2} \cdots x_{n} \leqslant \left( \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} \right)^{n} }
\end{aligned}
$$

又因为：

$$
\begin{aligned}
& \textcolor{springgreen}{ \left( \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} \right)^{n} } \\ \\
= & \ \left[ \frac{\textcolor{pink}{\frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n-1}}{n-1}} \cdot (n-1) + x_{n}}{n} \right]^{n} \\ \\
= & \ \left[ \frac{\textcolor{pink}{I} \cdot (n-1) + x_{n}}{n} \right]^{n} \\ \\
= & \ \left[ \frac{\textcolor{pink}{I}n – \textcolor{pink}{I} + x_{n}}{n} \right] ^{n} \\ \\
= & \ \left[ \textcolor{pink}{I} \textcolor{orangered}{-} \frac{\textcolor{pink}{I} \textcolor{orangered}{-} x_{n}}{n} \right]^{n} \\ \\
= & \ \left[ \textcolor{pink}{I} \textcolor{springgreen}{+} \frac{x_{n} \textcolor{orangered}{-} \textcolor{pink}{I}}{n} \right]^{n}
\end{aligned}
$$

接下来的计算需要用到二项式展开定理：

$$
\begin{aligned}
& (a+b)^{n} \\ \\
= & C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n-1} \cdot b^{1} + C_{n}^{2} a^{n-2} \cdot b^{2} + \cdots \\
– & C_{n}^{k} a^{n-k} \cdot b^{k} + \cdots + C_{n}^{n} a^{n-n} \cdot b^{n} \\ \\
= & \textcolor{yellow}{ a^{n} + n a^{n-1} b + \frac{n(n-1)}{2} a^{n-2} b^{2} + \cdots + b^{n} } \\ \\
\end{aligned}
$$

于是，接下来的计算就是：

$$
\begin{aligned}
& \left[ \textcolor{pink}{I} \textcolor{springgreen}{+} \frac{x_{n} \textcolor{orangered}{-} \textcolor{pink}{I}}{n} \right]^{n} \\ \\
= & \ \textcolor{orangered}{ I^{n} + n I^{n-1} \left( \frac{x_{n} – I}{n} \right) } + \cdots + \left( \frac{x_{n} – I}{n} \right)^{n} \\ \\
\geqslant & \ \textcolor{orangered}{ I^{n} + n I^{n-1} \left( \frac{x_{n} – I}{n} \right) } \\ \\
= & \ \textcolor{orangered}{ I^{n} + I^{n-1} (x_{n} – I) } \\ \\
= & \ I^{n} + I^{n-1} \cdot x_{n} – I^{n} \\ \\
= & \ \textcolor{pink}{I}^{n-1} \cdot x_{n} \\ \\
= & \ \left( \textcolor{pink}{ \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n-1}}{n-1} } \right)^{n-1} \cdot x_{n}
\end{aligned}
$$

可以看到，$\textcolor{pink}{ \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n-1}}{n-1} }$ 其实就是 $x_{1}$, $x_{2}$, $\cdots$, $x_{n-1}$ 这几个数字的平均值，因此，根据「荒原之梦考研数学」的《数字的平均值相乘一定不小于每个数字相乘——小数字在乘法中对大数字的“牵制”程度比减法中严重》这篇文章可得下式：

$$
\textcolor{pink}{
\frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n-1}}{n-1} \geqslant x_{1} x_{2} \cdots x_{n-1}
}
$$

于是：

$$
\left( \textcolor{pink}{ \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n-1}}{n-1} } \right)^{n-1} \cdot x_{n} \geqslant \textcolor{pink}{x_{1} x_{2} \cdots x_{n-1}} \cdot x_{n}
$$

也就是：

$$
\begin{aligned}
& \textcolor{springgreen}{ \left[ I + \frac{x_{n} – I}{n} \right]^{n} } \geqslant x_{1} x_{2} \cdots x_{n-1} \cdot x_{n} \\ \\
\Leftrightarrow & \ \textcolor{springgreen}{ \left( \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} \right)^{n} } \geqslant \textcolor{pink}{x_{1} x_{2} \cdots x_{n-1}} \cdot x_{n}
\end{aligned}
$$

递推法的证明过程

由前面得计算我们可知：

$$
\left( \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} \right)^{n} \geqslant \left( \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n-1}}{n-1} \right)^{n-1} \cdot x_{n}
$$

那么，根据递推证明，我们可得：

$$
\left( \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n-1}}{n-1} \right)^{n-1} \geqslant \left( \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n-1}}{n-1} \right)^{n-2} \cdot x_{n-1}
$$

$$
\left( \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n-1}}{n-1} \right)^{n-2} \geqslant \left( \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n-1}}{n-1} \right)^{n-3} \cdot x_{n-2}
$$

$$
\left( \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n-1}}{n-1} \right)^{n-3} \geqslant \left( \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n-1}}{n-1} \right)^{n-4} \cdot x_{n-3}
$$

$$
\vdots
$$

于是可得：

$$
\begin{aligned}
& \left( \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} \right)^{n} \geqslant \left( \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n-1}}{n-1} \right)^{n-1} \cdot x_{n} \\ \\
\Rightarrow & \ \left( \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} \right)^{n} \geqslant \left( \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n-1}}{n-1} \right)^{n-2} \cdot x_{n-1} \cdot x_{n} \\ \\
\Rightarrow & \ \left( \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} \right)^{n} \geqslant \left( \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n-1}}{n-1} \right)^{n-3} \cdot x_{n-2} \cdot x_{n-1} \cdot x_{n} \\ \\
\vdots \\ \\
\Rightarrow & \ \left( \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} \right)^{n} \geqslant \left( \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n-1}}{n-1} \right)^{1} \cdot x_{2} \cdots x_{n-1} \cdot x_{n} \\ \\
\Rightarrow & \ \left( \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} \right)^{n} \geqslant \textcolor{tan}{ \left( \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n-1}}{n-1} \right)^{0} } \cdot x_{1} \cdot x_{2} \cdots x_{n} \\ \\
\Rightarrow & \ \left( \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} \right)^{n} \geqslant \textcolor{tan}{1} \cdot x_{1} \cdot x_{2} \cdots x_{n-1} \cdot x_{n} \\ \\
\Rightarrow & \ \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} \geqslant \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}}
\end{aligned}
$$

综上可知，平均值不等式得证：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
\textcolor{springgreen}{ \ \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}} \leqslant \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} }
}
}
$$

---