不同的数字相减一定不得零,但相加就不一定了

一、题目题目 - 荒原之梦

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

为了解答本题,我们需要明确两个基本知识:

在本题中,由于对 n 阶矩阵 Ar(A) = n1, 因此,根据「荒原之梦考研数学」的《齐次线性方程组是否有非零解与系数矩阵的列向量是否相关有关》这篇文章可知,线性方程组 Ax = 0 的线性无关的解的个数为:

n(n1)=1

如果我们将 Ax = 0 的这一个解设为 α, 则可知:

  1. α1 一定与 α 线性相关;
  2. α2 一定与 α 线性相关;
  3. α1 一定与 α2 线性相关。

即:

k1α=α1k2α=α2k3α1=α2

其中,k1, k2k3 为任意常数。

为了表述方便,我们假设矩阵 A 是一个三阶矩阵,则,当 α1 = (000) 的时候,Aα1 = 0 显然成立,但此时:

kα1=(000)

所以,[A] 选项中 kα1 不能作为 Ax = 0 的一个通解。

同理,[B] 选项中的 kα2 也不能作为 Ax = 0 的一个通解。

对于 [C] 选项,如果 α1 = (101), α2 = (101), 则 α1α2 线性相关,但是:

k(α1+α2)=(000)

所以,k(α1 + α2) 也不能作为 Ax = 0 的一个通解。

综上,只有 α1 α2 0 一定成立,因此,只有 [D] 选项中的 k(α1 α2) 一定是齐次线性方程组 Ax = 0 的一个通解。


荒原之梦考研数学思维导图
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