不同的数字相减一定不得零，但相加就不一定了

一、题目

[A]. $k{\mathit{\alpha }}_1$

[B]. $k{\mathit{\alpha }}_2$

[C]. $k({\mathit{\alpha }}_1$ $+$ ${\mathit{\alpha }}_2)$

[D]. $k({\mathit{\alpha }}_1$ $-$ ${\mathit{\alpha }}_2)$

难度评级：

二、解析

为了解答本题，我们需要明确两个基本知识：

在本题中，由于对 $n$ 阶矩阵 $\mathit{A}$ 有 $r(\mathit{A})$ $=$ $n-1$, 因此，根据「荒原之梦考研数学」的《齐次线性方程组是否有非零解与系数矩阵的列向量是否相关有关》这篇文章可知，线性方程组 $\mathit{A}x$ $=$ $0$ 的线性无关的解的个数为：

$$n–(n-1)=1$$

如果我们将 $\mathit{A}x$ $=$ $0$ 的这一个解设为 $\mathit{\alpha }$, 则可知：

1. ${\mathit{\alpha }}_1$ 一定与 $\mathit{\alpha }$ 线性相关;
2. ${\mathit{\alpha }}_2$ 一定与 $\mathit{\alpha }$ 线性相关;
3. ${\mathit{\alpha }}_1$ 一定与 ${\mathit{\alpha }}_2$ 线性相关。

即：

$$\begin{array}{rl}{k}_1\mathit{\alpha }& ={\mathit{\alpha }}_1\\ k_2\mathit{\alpha }& ={\mathit{\alpha }}_2\\ k_3{\mathit{\alpha }}_1& ={\mathit{\alpha }}_2\end{array}$$

其中，$k_1$, $k_2$ 和 $k_3$ 为任意常数。

为了表述方便，我们假设矩阵 $\mathit{A}$ 是一个三阶矩阵，则，当 ${\mathit{\alpha }}_1$ $=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ 的时候，$\mathit{A}{\mathit{\alpha }}_1$ $=$ $0$ 显然成立，但此时：

$$k{\mathit{\alpha }}_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$

所以，[A] 选项中 $k{\mathit{\alpha }}_1$ 不能作为 $\mathit{A}x$ $=$ $0$ 的一个通解。

同理，[B] 选项中的 $k{\mathit{\alpha }}_2$ 也不能作为 $\mathit{A}x$ $=$ $0$ 的一个通解。

对于 [C] 选项，如果 ${\mathit{\alpha }}_1$ $=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$, ${\mathit{\alpha }}_2$ $=$ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$, 则 ${\mathit{\alpha }}_1$ 与 ${\mathit{\alpha }}_2$ 线性相关，但是：

$$k({\mathit{\alpha }}_1+{\mathit{\alpha }}_2)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$

所以，$k({\mathit{\alpha }}_1$ $+$ ${\mathit{\alpha }}_2)$ 也不能作为 $\mathit{A}x$ $=$ $0$ 的一个通解。

综上，只有 ${\mathit{\alpha }}_1$ $-$ ${\mathit{\alpha }}_2$ $\ne$ $0$ 一定成立，因此，只有 [D] 选项中的 $k({\mathit{\alpha }}_1$ $-$ ${\mathit{\alpha }}_2)$ 一定是齐次线性方程组 $\mathit{A}x$ $=$ $0$ 的一个通解。

---