对称矩阵/单位矩阵经“对称初等变换”可以生成互为转置矩阵的两个矩阵

一、前言

关于主对角线对称的矩阵，特别是单位矩阵具有很多的神奇的性质，在「荒原之梦考研数学」的《单位矩阵可以用来记录初等变换》一文中，我们学习了单位矩阵在“存储”和“写入”矩阵初等行变换和初等列变换上的能力。

在本文中，我们将学习单位矩阵和一般的对称矩阵在“对称初等变换”条件下自动生成其转置矩阵的特殊性质。

对 称 初 等 变 换 示 意 图

graph TD
	O{O} --第 1 行与第 2 行的初等变换--> A1[A1];
	O --第 1 列与第 2 列的初等变换--> B1[B1];
	A1 --第 2 行与第 3 行的初等变换--> A2[A2];
	B1 --第 2 列与第 3 列的初等变换--> B2[B2];
	A2 --第 i 行与第 j 行的初等变换--> A[A];
	B2 --第 i 列与第 j 列的初等变换--> B[B];
	A --> C[A 和 B 互为转置矩阵];
	B --> C;

二、正文

§2.1 对称初等变换

“对称初等变换”一词是「荒原之梦考研数学」独立原创的一个线性代数领域的名词。

所谓“对称初等变换”就是指从一个矩阵 $\boldsymbol{O}$ 出发，通过有限次初等变换生成两个矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$, 其中，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的生成过程只使用初等行变换，矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的生成过程只使用初等列变换，且每进行一次有关第 $i$ 行和第 $j$ 行的初等行变换，就要进行一次同样类型的第 $i$ 列和第 $j$ 列的初等列变换。这个生成过程就被称为“对称初等变换”。

概括地说，对称初等变换就是对要生成的矩阵分别施以同类型同次数的初等行变换和初等列变换，并以此得到两个新的矩阵。

§2.2 单位矩阵

对单位矩阵施以对称初等变换可以得到两个互为转置矩阵的矩阵。

例如，对单位矩阵进行两次初等行变换：

$$
\begin{aligned}
& \begin{bmatrix}
\textcolor{black}{\colorbox{springgreen}{1}} & 0 & 0 \\
0 & \textcolor{black}{\colorbox{orange}{1}} & 0 \\
0 & 0 & \textcolor{white}{\colorbox{red}{1}}
\end{bmatrix} \\ \\
\xRightarrow{r_{1} \leftrightarrow r_{2}} & \begin{bmatrix}
0 & \textcolor{black}{\colorbox{orange}{1}} & 0 \\
\textcolor{black}{\colorbox{springgreen}{1}} & 0 & 0 \\
0 & 0 & \textcolor{white}{\colorbox{red}{1}}
\end{bmatrix} \\ \\
\xRightarrow{r_{2} \leftrightarrow r_{3}} & \textcolor{yellow}{ \begin{bmatrix}
0 & \textcolor{black}{\colorbox{orange}{1}} & 0 \\
0 & 0 & \textcolor{white}{\colorbox{red}{1}} \\
\textcolor{black}{\colorbox{springgreen}{1}} & 0 & 0
\end{bmatrix} }
\end{aligned}
$$

接着，对单位矩阵进行两次初等列变换：

$$
\begin{aligned}
& \begin{bmatrix}
\textcolor{black}{\colorbox{springgreen}{1}} & 0 & 0 \\
0 & \textcolor{black}{\colorbox{orange}{1}} & 0 \\
0 & 0 & \textcolor{white}{\colorbox{red}{1}}
\end{bmatrix} \\ \\
\xRightarrow{c_{1} \leftrightarrow c_{2}} & \begin{bmatrix}
0 & \textcolor{black}{\colorbox{springgreen}{1}} & 0 \\
\textcolor{black}{\colorbox{orange}{1}} & 0 & 0 \\
0 & 0 & \textcolor{white}{\colorbox{red}{1}}
\end{bmatrix} \\ \\
\xRightarrow{c_{2} \leftrightarrow c_{3}} & \textcolor{yellow}{ \begin{bmatrix}
0 & 0 & \textcolor{black}{\colorbox{springgreen}{1}} \\
\textcolor{black}{\colorbox{orange}{1}} & 0 & 0 \\
0 & \textcolor{white}{\colorbox{red}{1}} & 0
\end{bmatrix} }
\end{aligned}
$$

则：

$$
\textcolor{yellow}{ \begin{bmatrix}
0 & \textcolor{black}{\colorbox{orange}{1}} & 0 \\
0 & 0 & \textcolor{white}{\colorbox{red}{1}} \\
\textcolor{black}{\colorbox{springgreen}{1}} & 0 & 0
\end{bmatrix} } ^{\top} = \textcolor{yellow}{ \begin{bmatrix}
0 & 0 & \textcolor{black}{\colorbox{springgreen}{1}} \\
\textcolor{black}{\colorbox{orange}{1}} & 0 & 0 \\
0 & \textcolor{white}{\colorbox{red}{1}} & 0
\end{bmatrix} }
$$

$$
\textcolor{yellow}{ \begin{bmatrix}
0 & 0 & \textcolor{black}{\colorbox{springgreen}{1}} \\
\textcolor{black}{\colorbox{orange}{1}} & 0 & 0 \\
0 & \textcolor{white}{\colorbox{red}{1}} & 0
\end{bmatrix} } ^{\top} = \textcolor{yellow}{ \begin{bmatrix}
0 & \textcolor{black}{\colorbox{orange}{1}} & 0 \\
0 & 0 & \textcolor{white}{\colorbox{red}{1}} \\
\textcolor{black}{\colorbox{springgreen}{1}} & 0 & 0
\end{bmatrix} }
$$

为了更加凸显互为转置矩阵的性质，我们可以去掉上面矩阵的颜色：

$$
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix} ^{\top} = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
$$

$$
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix} ^{\top} = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$

§2.3 一般矩阵

对一般的非对称矩阵施以对称初等变换不能得到两个互为转置矩阵的矩阵，例如：

$$
\begin{aligned}
\begin{rcases}
& \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix} \xRightarrow{r_{1} \leftrightarrow r_{2}} \textcolor{orangered}{ \begin{bmatrix}
4 & 5 & 6 \\
1 & 2 & 3 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix} } \\ \\
&\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix} \xRightarrow{c_{1} \leftrightarrow c_{2}} \textcolor{orangered}{ \begin{bmatrix}
2 & 1 & 3 \\
5 & 4 & 6 \\
8 & 7 & 9
\end{bmatrix} }
\end{rcases}
\Rightarrow \textcolor{orangered}{ \begin{bmatrix}
4 & 5 & 6 \\
1 & 2 & 3 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix} } ^{\top} \textcolor{orangered}{\boldsymbol{\neq}} \textcolor{orangered}{ \begin{bmatrix}
2 & 1 & 3 \\
5 & 4 & 6 \\
8 & 7 & 9
\end{bmatrix} }
\end{aligned}
$$

对一般的关于主对角线对称的矩阵施以对称初等变换可以得到两个互为转置矩阵的矩阵，例如：

$$
\begin{aligned}
\begin{rcases}
& \begin{bmatrix}
1 & 0 & 6 \\
0 & 2 & 0 \\
6 & 0 & 3
\end{bmatrix} \xRightarrow{r_{1} \leftrightarrow r_{2}} \textcolor{springgreen}{\begin{bmatrix}
0 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 6 \\
6 & 0 & 3
\end{bmatrix}} \\ \\
& \begin{bmatrix}
1 & 0 & 6 \\
0 & 2 & 0 \\
6 & 0 & 3
\end{bmatrix} \xRightarrow{c_{1} \leftrightarrow c_{2}} \textcolor{springgreen}{\begin{bmatrix}
0 & 1 & 6 \\
2 & 0 & 0 \\
0 & 6 & 3
\end{bmatrix}}
\end{rcases} \Rightarrow \textcolor{springgreen}{\begin{bmatrix}
0 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 6 \\
6 & 0 & 3
\end{bmatrix}} ^{\top} \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{=}} \textcolor{springgreen}{\begin{bmatrix}
0 & 1 & 6 \\
2 & 0 & 0 \\
0 & 6 & 3
\end{bmatrix}}
\end{aligned}
$$

对于一般的关于副对角线对称的矩阵施以对称初等变换不能得到两个互为转置矩阵的矩阵，例如：

$$
\begin{aligned}
\begin{rcases}
& \begin{bmatrix}
6 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
3 & 0 & 6
\end{bmatrix} \xRightarrow{r_{1} \leftrightarrow r_{2}} \textcolor{orangered}{\begin{bmatrix}
0 & 2 & 0 \\
6 & 0 & 1 \\
3 & 0 & 6
\end{bmatrix}} \\ \\
& \begin{bmatrix}
6 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
3 & 0 & 6
\end{bmatrix} \xRightarrow{c_{1} \leftrightarrow c_{2}} \textcolor{orangered}{\begin{bmatrix}
0 & 6 & 1 \\
2 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 6
\end{bmatrix}}
\end{rcases} \Rightarrow \textcolor{orangered}{\begin{bmatrix}
0 & 2 & 0 \\
6 & 0 & 1 \\
3 & 0 & 6
\end{bmatrix}} ^{\top} \textcolor{orangered}{\boldsymbol{\neq}} \textcolor{orangered}{\begin{bmatrix}
0 & 6 & 1 \\
2 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 6
\end{bmatrix}}
\end{aligned}
$$

§2.4 总结

关于主对角线对称的矩阵（特别是单位矩阵）经过有限步“对称初等变换”之后，可以得到两个互为转置矩阵的矩阵。

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