交集和并集相等的两个事件一定是相同的事件

一、题目

难度评级：

二、解析

由题可知：

$$\begin{array}{rl}& (\overline{A\cup B})C=\overline{A}C\cup \overline{B}C\\ \\ \Rightarrow & (\overline{A}\cap \overline{B})C=\overline{A}C\cup \overline{B}C\\ \\ \Rightarrow & (\overline{A}C)\cap (\overline{B}C)=(\overline{A}C)\cup (\overline{B}C)\\ \\ \Rightarrow & \overline{A}C=\overline{B}C\\ \\ \Rightarrow & \overline{A}\bcancel{C}=\overline{B}\bcancel{C}\\ \\ \Rightarrow & \overline{\mathbf{A}}\mathbf{=}\overline{\mathbf{B}}\end{array}$$

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在上面的计算过程中，我们需要注意两个问题：

1. 在得出 $\overline{\mathbf{A}}$ $\mathbf{=}$ $\overline{\mathbf{B}}$ 的过程中，我们已经将事件 $C$ 完全“消去”了，所以，我们事实上已经无法得出事件 $A$, $B$, $\overline{A}$, $\overline{B}$ 与事件 $C$, $\overline{C}$ 之间的任何关系，因此，在这里可以直接判断出选项 [A], [C], [D] 都错误。
2. 之所以由 $(\overline{A}C)$ $\cap$ $(\overline{B}C)$ $=$ $(\overline{A}C)$ $\cup$ $(\overline{B}C)$ 能推出 $\overline{A}C$ $=$ $\overline{B}C$, 是因为，只要 两 个 事 件 的 并 集 和 交 集 相 等 ，那么，这 两 个 事 件 就 完 全 相 等 ，原理如图 01 所示：

另外，在理解上面的图 01 的时候，我们需要注意，从韦恩图上来说，两个相等的事件一定是“形状”、“位置”和“面积”都相等的，否则就不是相等的事件。相关内容可以查阅「荒原之梦考研数学」的《事件与其对立事件可能相等吗？》这篇文章。

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由前面的计算可知：

$$\overline{\mathbf{A}}\mathbf{=}\overline{\mathbf{B}}$$

进而可知：

$$\mathbf{A}\mathbf{=}\mathbf{B}$$

于是：

$$\begin{array}{rl}& \overline{A}BC\\ \Rightarrow & \overline{A}\cap B\cap C\\ \Rightarrow & \overline{A}\cap A\cap C\\ \Rightarrow & \varnothing \cap C\\ \Rightarrow & \varnothing \end{array}$$

综上可知，本 题 应 选 B

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