交集和并集相等的两个事件一定是相同的事件

一、题目

难度评级：

二、解析

由题可知：

$$
\begin{aligned}
& ( \overline { A \cup B } ) C = \bar{A} C \cup \bar{B} C \\ \\
\Rightarrow & ( \bar{A} \cap \bar{B} ) C = \bar{A} C \cup \bar{B} C \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{orange}{ (\bar{A} C) \cap (\bar{B} C) = (\bar{A} C) \cup (\bar{B} C) } \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{orange}{ \bar{A} C = \bar{B} C } \\ \\
\Rightarrow & \bar{A} \bcancel{C} = \bar{B} \bcancel{C} \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{\mathbf{\bar{A} = \bar{B} }}
\end{aligned}
$$

Next

在上面的计算过程中，我们需要注意两个问题：

1. 在得出 $\textcolor{springgreen}{\mathbf{\bar{A}}}$ $\textcolor{springgreen}{\mathbf{=}}$ $\textcolor{springgreen}{\mathbf{\bar{B} }}$ 的过程中，我们已经将事件 $C$ 完全“消去”了，所以，我们事实上已经无法得出事件 $A$, $B$, $\bar{A}$, $\bar{B}$ 与事件 $C$, $\bar{C}$ 之间的任何关系，因此，在这里可以直接判断出选项 [A], [C], [D] 都错误。
2. 之所以由 $\textcolor{orange}{(\bar{A} C)}$ $\textcolor{orange}{\cap}$ $\textcolor{orange}{(\bar{B} C)}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{(\bar{A} C)}$ $\textcolor{orange}{\cup}$ $\textcolor{orange}{(\bar{B} C)}$ 能推出 $\textcolor{orange}{\bar{A} C}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{\bar{B} C}$, 是因为，只要 两 个 事 件 的 并 集 和 交 集 相 等 ，那么，这 两 个 事 件 就 完 全 相 等 ，原理如图 01 所示：

另外，在理解上面的图 01 的时候，我们需要注意，从韦恩图上来说，两个相等的事件一定是“形状”、“位置”和“面积”都相等的，否则就不是相等的事件。相关内容可以查阅「荒原之梦考研数学」的《事件与其对立事件可能相等吗？》这篇文章。

Next

由前面的计算可知：

$$
\textcolor{springgreen}{\mathbf{ \bar{A} = \bar{B} }}
$$

进而可知：

$$
\textcolor{springgreen}{\mathbf{ A = B }}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
& \bar{A} B C \\
\Rightarrow & \textcolor{magenta}{\bar{A} \cap B} \cap C \\
\Rightarrow & \textcolor{magenta}{\bar{A} \cap A } \cap C \\
\Rightarrow & \textcolor{magenta}{\varnothing} \cap C \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{\varnothing}
\end{aligned}
$$

综上可知，本 题 应 选 B

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