积分式子中相似的部分越多越容易计算，但有时候需要我们拨开“云雾”

一、题目

难度评级：

二、解析

观察本题可知，被积函数中含有两个 “$e$”, 但是，它们的次幂却为各不相同的 “$x + 3$” 与 “$5 – x$”.

其实，这两个次幂只是看起来不相同，因为，我们只需要对其同时减去 “$\textcolor{springgreen}{4}$” 就会发现，所得的结果互为相反数，而相反数之间的相似程度是很高的，非常有利于我们接下来的积分计算：

$$
\begin{cases}
(x + 3) – \textcolor{springgreen}{4} = x – 1 \\
(5 – x) – \textcolor{springgreen}{4} = 1 – x
\end{cases}
$$

当然，类似的这样的式子有很多，同学们在做题的时候要多加注意，例如，对于 “$x + 1$” 与 “$3 – x$”, 我们就可以做如下处理：

$$
\begin{cases}
(x + 1) – \textcolor{yellow}{2} = x – 1 \\
(3 – x) – \textcolor{yellow}{2} = 1 – x
\end{cases}
$$

好了，经过前面的分析，我们可以做如下运算：

$$
\begin{aligned}
I & = \\ \\
& \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{e ^{x+3} + e ^{5-x}} \mathrm{~d} x \\ \\
& = \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{ \textcolor{springgreen}{e ^{4} } \left( e ^{x-1} + e ^{1-x} \right) } \mathrm{~d} x \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{ \frac{1}{e ^{4}} } \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{ \left( e ^{x-1} + e ^{1-x} \right) } \mathrm{~d} x \\ \\
& \xlongequal[k \in (0, + \infty)]{k = x – 1} \frac{1}{e ^{4}} \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{e ^{k} + e ^{-k}} \mathrm{~d} k \\ \\
& = \frac{1}{e ^{4}} \int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{\frac{e ^{2k}}{e ^{k}} + \frac{1}{e ^{k}}} \mathrm{~d} x \\ \\
& = \frac{1}{e ^{4}} \int_{0}^{+\infty} \frac{e ^{k}}{e ^{2k} + 1} \mathrm{~d} x \\ \\
& = \frac{1}{e ^{4}} \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{ 1 + (e ^{k}) ^{2}} \mathrm{~d} (e ^{k}) \\ \\
& = \frac{1}{e ^{4}} \arctan (e ^{k}) \Big|_{\textcolor{yellow}{\colorbox{magenta}{0}}} ^{+\infty} \\ \\
& = \frac{1}{e ^{4}} \times \left( \frac{\pi}{2} – \arctan \textcolor{yellow}{\colorbox{magenta}{1}} \right) \\ \\
& = \frac{1}{e ^{4}} \times \left( \frac{\pi}{2} – \frac{\pi}{4} \right) \\ \\
& = \frac{1}{e ^{4}} \times \frac{\pi}{4} \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\frac{\pi}{4 e ^{4}}}}
\end{aligned}
$$

三、后记

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