积分式子中相似的部分越多越容易计算，但有时候需要我们拨开“云雾”

一、题目

难度评级：

二、解析

观察本题可知，被积函数中含有两个 “$e$”, 但是，它们的次幂却为各不相同的 “$x+3$” 与 “$5–x$”.

其实，这两个次幂只是看起来不相同，因为，我们只需要对其同时减去 “$4$” 就会发现，所得的结果互为相反数，而相反数之间的相似程度是很高的，非常有利于我们接下来的积分计算：

$$\{\begin{array}{l}(x+3)–4=x–1\\ (5–x)–4=1–x\end{array}$$

当然，类似的这样的式子有很多，同学们在做题的时候要多加注意，例如，对于 “$x+1$” 与 “$3–x$”, 我们就可以做如下处理：

$$\{\begin{array}{l}(x+1)–2=x–1\\ (3–x)–2=1–x\end{array}$$

好了，经过前面的分析，我们可以做如下运算：

$$\begin{array}{rl}I& =\\ \\ & {\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{e^{x+3}+e^{5-x}}\mathrm{d}x\\ \\ & ={\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{e^4(e^{x-1}+e^{1-x})}\mathrm{d}x\\ \\ & =\frac{1}{e^4}{\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{(e^{x-1}+e^{1-x})}\mathrm{d}x\\ \\ & \underset{k\in (0,+\mathrm{\infty })}{\overset{k=x–1}{=}}\frac{1}{e^4}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{e^k+e^{-k}}\mathrm{d}k\\ \\ & =\frac{1}{e^4}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{\frac{e^{2k}}{e^k}+\frac{1}{e^k}}\mathrm{d}x\\ \\ & =\frac{1}{e^4}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{e^k}{e^{2k}+1}\mathrm{d}x\\ \\ & =\frac{1}{e^4}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{1+(e^k{)}^2}\mathrm{d}(e^k)\\ \\ & =\frac{1}{e^4}\arctan (e^k){|}_{\text{0}}^{+\mathrm{\infty }}\\ \\ & =\frac{1}{e^4}\times (\frac{\pi }{2}–\arctan \text{1})\\ \\ & =\frac{1}{e^4}\times \left(\frac{\pi }{2}–\frac{\pi }{4}\right)\\ \\ & =\frac{1}{e^4}\times \frac{\pi }{4}\\ \\ & =\frac{\mathit{\pi }}{\mathbf{4}{\mathit{e}}^{\mathbf{4}}}\end{array}$$

三、后记

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