一、题目![题目 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/f68a9e590526998388b0f9b71bd5d3f73dda4ed9764819fe8f36488fa537e9b9499f465fd201d7c117b8901c3ad071915a34a688058a739ebc39835753a8d7cc.svg)
$$
\begin{aligned}
I & = \\ \\
& \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{e ^{x+3} + e ^{5-x}} \mathrm{~d} x \\ \\
& = ?
\end{aligned}
$$
难度评级:
二、解析 ![解析 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/6fff698aa5c66c6c7a143e3d2a00fa8ee7eab76be5360d89eb43a03143848e8cd60377c76bf830c93ec6603be5af661d9c52238834792ea548bf14de10b05ad9.svg)
观察本题可知,被积函数中含有两个 “$e$”, 但是,它们的次幂却为各不相同的 “$x + 3$” 与 “$5 – x$”.
其实,这两个次幂只是看起来不相同,因为,我们只需要对其同时减去 “$\textcolor{springgreen}{4}$” 就会发现,所得的结果互为相反数,而相反数之间的相似程度是很高的,非常有利于我们接下来的积分计算:
$$
\begin{cases}
(x + 3) – \textcolor{springgreen}{4} = x – 1 \\
(5 – x) – \textcolor{springgreen}{4} = 1 – x
\end{cases}
$$
当然,类似的这样的式子有很多,同学们在做题的时候要多加注意,例如,对于 “$x + 1$” 与 “$3 – x$”, 我们就可以做如下处理:
$$
\begin{cases}
(x + 1) – \textcolor{yellow}{2} = x – 1 \\
(3 – x) – \textcolor{yellow}{2} = 1 – x
\end{cases}
$$
好了,经过前面的分析,我们可以做如下运算:
$$
\begin{aligned}
I & = \\ \\
& \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{e ^{x+3} + e ^{5-x}} \mathrm{~d} x \\ \\
& = \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{ \textcolor{springgreen}{e ^{4} } \left( e ^{x-1} + e ^{1-x} \right) } \mathrm{~d} x \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{ \frac{1}{e ^{4}} } \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{ \left( e ^{x-1} + e ^{1-x} \right) } \mathrm{~d} x \\ \\
& \xlongequal[k \in (0, + \infty)]{k = x – 1} \frac{1}{e ^{4}} \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{e ^{k} + e ^{-k}} \mathrm{~d} k \\ \\
& = \frac{1}{e ^{4}} \int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{\frac{e ^{2k}}{e ^{k}} + \frac{1}{e ^{k}}} \mathrm{~d} x \\ \\
& = \frac{1}{e ^{4}} \int_{0}^{+\infty} \frac{e ^{k}}{e ^{2k} + 1} \mathrm{~d} x \\ \\
& = \frac{1}{e ^{4}} \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{ 1 + (e ^{k}) ^{2}} \mathrm{~d} (e ^{k}) \\ \\
& = \frac{1}{e ^{4}} \arctan (e ^{k}) \Big|_{\textcolor{yellow}{\colorbox{magenta}{0}}} ^{+\infty} \\ \\
& = \frac{1}{e ^{4}} \times \left( \frac{\pi}{2} – \arctan \textcolor{yellow}{\colorbox{magenta}{1}} \right) \\ \\
& = \frac{1}{e ^{4}} \times \left( \frac{\pi}{2} – \frac{\pi}{4} \right) \\ \\
& = \frac{1}{e ^{4}} \times \frac{\pi}{4} \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\frac{\pi}{4 e ^{4}}}}
\end{aligned}
$$
三、后记
减去一个数字,可以给题目“拨云见日”。
其实,我们的生活和学习,也需要常常做“减法”——
减去无用的担忧、减去无用的社交、减去无用的边边角角。
只有这样,才能轻装上阵,才能容下更多的梦想,更专注于自己真正核心的追求。
高等数学![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。
线性代数![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。
特别专题![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。