积分一定能改变函数的奇偶性吗？

一、题目

[A]. 若 $f ( x )$ 是偶函数，则 $F ( x )$ 必是奇函数

[B]. 若 $f ( x )$ 是奇函数，则 $F ( x )$ 必是偶函数

[C]. 若 $f ( x )$ 是周期函数，则$F ( x )$ 必是周期函数

[D]. 若 $f ( x )$ 是单调增函数，则 $F ( x )$ 必是单调增函数

难度评级：

二、解析

准备工作

我们知道，$f ( x )$ 的原函数 $F(x)$ 有无数个，这无数个原函数可以写成下面的形式：

$$
F ( x ) = \int _{ 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { ~d } t + C
$$

其中 $\int _{ 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { ~d } t$ 只是 $f ( x )$ 的无数个原函数之一。

此外，常数 $C$ 组成的函数 $y = C$ 一定是一个偶函数。

解答本题的一个关键点是，要注意到，偶函数并不要求 $f(0)$ $=$ $0$, 但是奇函数要求 $f(0)$ $=$ $0$.

[A] 选项

选项内容：若 $f ( x )$ 是偶函数，则 $F ( x )$ 必是奇函数

当 $f ( x )$ 为偶函数，且 $C = 0$ 时，其原函数 $F(x)$ $=$ $\int _{ 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { ~d } t + C$ 为奇函数，但是，当 $C \neq 0$ 的时候，由于此时 $F(0)$ $\neq$ $0$, 所以，当 $C \neq 0$ 的时候，$f(x)$ 的原函数 $F(x)$ 不一定是奇函数。

综上，[A] 选 项 错 误 。

B 选项

选项内容：若 $f ( x )$ 是奇函数，则 $F ( x )$ 必是偶函数

当 $f ( x )$ 为奇函数时，由于积分具有导致函数奇偶性发生变化的推动能力^*，所以 $\int _{ 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { ~d } t$ 是偶函数，同时，由于常数 $C$ 组成的函数也是偶函数，偶函数加上偶函数还是偶函数，所以，无论常数 $C$ 等于多少，当 $f ( x )$ 为奇函数的时候，其全部原函数 $F(x)$ 一定都是偶函数。

综上，[B] 选 项 正 确 。

Note

*根据前面对 [A] 和 [B] 两个选项的分析可知，积分虽然对函数奇偶性的改变具有推动能力，但是，到底能不能“推得动”，或者说在什么条件下才能“推得动”是要看具体情况的：
– 函数为偶函数的时候，其原函数 可 能 是奇函数；
– 函数为奇函数的时候，其原函数 一 定 是偶函数。

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C 选项

选项内容：若 $f ( x )$ 是周期函数，则$F ( x )$ 必是周期函数

本选项可以通过举例的方式排除。例如，令 $f ( x )$ $=$ $\sin x + 1$ 是一个周期函数，同时，由于 $( -\cos x + x ) ^ { \prime }$ $=$ $\sin x + 1$, 所以 $F(x)$ $=$ $- \cos x + x$ 是 $f ( x )$ 的一个原函数，但是，根据荒原之梦考研数学的《用单路径约束法快速判断函数的周期性》这篇文章可知，$F(x)$ 不是一个周期函数。

综上，[C] 选 项 错 误 。

D 选项

选项内容：若 $f ( x )$ 是单调增函数，则 $F ( x )$ 必是单调增函数

本选项可以通过举例的方式排除。比如，令 $f ( x )$ $=$ $2 x$, 很显然，此时 $f(x)$ 是一个单调递增的函数，但是其原函数簇 $F(x)$ $=$ $x ^ { 2 } + C$ 全都不是单调函数，更不是单调递增的函数（其中，$C$ 为任意常数）。

综上，[D] 选 项 错 误 。

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综上可知，本 题 应 选 B