一、题目![题目 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/f68a9e590526998388b0f9b71bd5d3f73dda4ed9764819fe8f36488fa537e9b9499f465fd201d7c117b8901c3ad071915a34a688058a739ebc39835753a8d7cc.svg)
已知 $f ( x )$ 是连续函数, $F ( x )$ 是 $f ( x )$ 的原函数,则以下说法中正确的是哪个?
[A]. 若 $f ( x )$ 是偶函数,则 $F ( x )$ 必是奇函数
[B]. 若 $f ( x )$ 是奇函数,则 $F ( x )$ 必是偶函数
[C]. 若 $f ( x )$ 是周期函数,则$F ( x )$ 必是周期函数
[D]. 若 $f ( x )$ 是单调增函数,则 $F ( x )$ 必是单调增函数
难度评级:
二、解析 ![解析 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/6fff698aa5c66c6c7a143e3d2a00fa8ee7eab76be5360d89eb43a03143848e8cd60377c76bf830c93ec6603be5af661d9c52238834792ea548bf14de10b05ad9.svg)
准备工作
我们知道,$f ( x )$ 的原函数 $F(x)$ 有无数个,这无数个原函数可以写成下面的形式:
$$
F ( x ) = \int _{ 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { ~d } t + C
$$
其中 $\int _{ 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { ~d } t$ 只是 $f ( x )$ 的无数个原函数之一。
此外,常数 $C$ 组成的函数 $y = C$ 一定是一个偶函数。
解答本题的一个关键点是,要注意到,偶函数并不要求 $f(0)$ $=$ $0$, 但是奇函数要求 $f(0)$ $=$ $0$.
[A] 选项
选项内容:若 $f ( x )$ 是偶函数,则 $F ( x )$ 必是奇函数
当 $f ( x )$ 为偶函数,且 $C = 0$ 时,其原函数 $F(x)$ $=$ $\int _{ 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { ~d } t + C$ 为奇函数,但是,当 $C \neq 0$ 的时候,由于此时 $F(0)$ $\neq$ $0$, 所以,当 $C \neq 0$ 的时候,$f(x)$ 的原函数 $F(x)$ 不一定是奇函数。
综上,[A] 选 项 错 误 。
B 选项
选项内容:若 $f ( x )$ 是奇函数,则 $F ( x )$ 必是偶函数
当 $f ( x )$ 为奇函数时,由于积分具有导致函数奇偶性发生变化的推动能力*,所以 $\int _{ 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { ~d } t$ 是偶函数,同时,由于常数 $C$ 组成的函数也是偶函数,偶函数加上偶函数还是偶函数,所以,无论常数 $C$ 等于多少,当 $f ( x )$ 为奇函数的时候,其全部原函数 $F(x)$ 一定都是偶函数。
综上,[B] 选 项 正 确 。
Note
*根据前面对 [A] 和 [B] 两个选项的分析可知,积分虽然对函数奇偶性的改变具有推动能力,但是,到底能不能“推得动”,或者说在什么条件下才能“推得动”是要看具体情况的:
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– 函数为偶函数的时候,其原函数 可 能 是奇函数;
– 函数为奇函数的时候,其原函数 一 定 是偶函数。
C 选项
选项内容:若 $f ( x )$ 是周期函数,则$F ( x )$ 必是周期函数
本选项可以通过举例的方式排除。例如,令 $f ( x )$ $=$ $\sin x + 1$ 是一个周期函数,同时,由于 $( -\cos x + x ) ^ { \prime }$ $=$ $\sin x + 1$, 所以 $F(x)$ $=$ $- \cos x + x$ 是 $f ( x )$ 的一个原函数,但是,根据荒原之梦考研数学的《用单路径约束法快速判断函数的周期性》这篇文章可知,$F(x)$ 不是一个周期函数。
综上,[C] 选 项 错 误 。
D 选项
选项内容:若 $f ( x )$ 是单调增函数,则 $F ( x )$ 必是单调增函数
本选项可以通过举例的方式排除。比如,令 $f ( x )$ $=$ $2 x$, 很显然,此时 $f(x)$ 是一个单调递增的函数,但是其原函数簇 $F(x)$ $=$ $x ^ { 2 } + C$ 全都不是单调函数,更不是单调递增的函数(其中,$C$ 为任意常数)。
综上,[D] 选 项 错 误 。
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综上可知,本 题 应 选 B