一、前言 ![前言 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/27d32864d84c052488cc5282d2051ce384fc5da0a8d27fd8250711674382591b80cf1f6df48c8b93891fe0874a5a5739d1bf2be3246a1c8cf0274958030b1195.svg)
行列式 $|A – B|$ 与行列式 $|B – A|$ 之间有什么关系?在本文中,荒原之梦考研数学网就将大家想清楚这个问题。
二、正文 ![正文 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/af6b708862ec6f1f0c1a7ba15c2c8a66966b14f7b21c47b5e4f8ef83641698a2806027d8f837e9012a4b01e4bd72058e6fec8535f6f7060df0dd343241a8b412.svg)
结论
$$
\begin{cases}
|A – B| = |B – A|, & n \ 为偶数 \\
|A – B| = – |B – A|, & n \ 为奇数
\end{cases}
$$
例子
当行列式的阶数为偶数的时候:
$$
\begin{aligned}
& \begin{vmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix} – \begin{pmatrix}
5 & 6 \\
7 & 1
\end{pmatrix}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
-4 & -4 \\
-4 & 3
\end{vmatrix} = \textcolor{orangered}{-28} \\ \\
& \begin{vmatrix}
\begin{pmatrix}
5 & 6 \\
7 & 1
\end{pmatrix} –
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
4 & 4 \\
4 & -3
\end{vmatrix} = \textcolor{orangered}{-28}
\end{aligned}
$$
当行列式的阶数为奇数的时候(最简单的例子):
$$
\begin{aligned}
& |1| – |2| = |-1| = \textcolor{orangered}{-1} \\
& |2| – |1| = |1| = \textcolor{springgreen}{1}
\end{aligned}
$$
当行列式的阶数为奇数的时候(一般的例子):
$$
\begin{aligned}
& \begin{vmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3 \\
5 & 2 & 6 \\
\end{pmatrix} –
\begin{pmatrix}
0 & 2 & 3 \\
2 & 0 & 3 \\
5 & 2 & 5
\end{pmatrix}
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{vmatrix} = \textcolor{springgreen}{1} \\ \\
& \begin{vmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 2 & 3 \\
2 & 0 & 3 \\
5 & 2 & 5
\end{pmatrix} –
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3 \\
5 & 2 & 6 \\
\end{pmatrix}
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
\end{vmatrix} = \textcolor{orangered}{-1}
\end{aligned}
$$
总结
所以,当矩阵 $A$ 和 $B$ 的阶数为 $n$ 的时候,行列式 $|A – B|$ 与行列式 $|B – A|$ 之间的关系为:
$$
|A – B| = \textcolor{red}{\boldsymbol{(-1)^{n}}} \cdot |B – A|
$$
高等数学![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。
线性代数![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
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