行列式|A-B|和|B-A|有什么关系？

一、前言

行列式 $|A – B|$ 与行列式 $|B – A|$ 之间有什么关系？在本文中，荒原之梦考研数学网就将大家想清楚这个问题。

二、正文

结论

$$
\begin{cases}
|A – B| = |B – A|, & n \ 为偶数 \\
|A – B| = – |B – A|, & n \ 为奇数
\end{cases}
$$

例子

当行列式的阶数为偶数的时候：

$$
\begin{aligned}
& \begin{vmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix} – \begin{pmatrix}
5 & 6 \\
7 & 1
\end{pmatrix}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
-4 & -4 \\
-4 & 3
\end{vmatrix} = \textcolor{orangered}{-28} \\ \\
& \begin{vmatrix}
\begin{pmatrix}
5 & 6 \\
7 & 1
\end{pmatrix} –
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
4 & 4 \\
4 & -3
\end{vmatrix} = \textcolor{orangered}{-28}
\end{aligned}
$$

当行列式的阶数为奇数的时候（最简单的例子）：

$$
\begin{aligned}
& |1| – |2| = |-1| = \textcolor{orangered}{-1} \\
& |2| – |1| = |1| = \textcolor{springgreen}{1}
\end{aligned}
$$

当行列式的阶数为奇数的时候（一般的例子）：

$$
\begin{aligned}
& \begin{vmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3 \\
5 & 2 & 6 \\
\end{pmatrix} –
\begin{pmatrix}
0 & 2 & 3 \\
2 & 0 & 3 \\
5 & 2 & 5
\end{pmatrix}
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{vmatrix} = \textcolor{springgreen}{1} \\ \\
& \begin{vmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 2 & 3 \\
2 & 0 & 3 \\
5 & 2 & 5
\end{pmatrix} –
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3 \\
5 & 2 & 6 \\
\end{pmatrix}
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
\end{vmatrix} = \textcolor{orangered}{-1}
\end{aligned}
$$

总结

所以，当矩阵 $A$ 和 $B$ 的阶数为 $n$ 的时候，行列式 $|A – B|$ 与行列式 $|B – A|$ 之间的关系为：

$$
|A – B| = \textcolor{red}{\boldsymbol{(-1)^{n}}} \cdot |B – A|
$$

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