通过化简，我们可以直接完成行列式的求解

一、题目

难度评级：

二、解析

直接对原行列式进行计算过于复杂，所以，我们首先对原行列式进行化简：

$$\begin{array}{rl}& \left|\begin{array}{ccc}x-5& -6& 3\\ 1& x& -1\\ -1& -2& x-1\end{array}\right|\\ \\ & \stackrel{\mathrm{第}\mathrm{二}\mathrm{行}\mathrm{加}\mathrm{到}\mathrm{第}\mathrm{三}\mathrm{行}}{=}\left|\begin{array}{ccc}x-5& -6& 3\\ 1& x& -1\\ 0& x-2& x-2\end{array}\right|\\ \\ & \stackrel{\mathrm{第}\mathrm{二}\mathrm{行}\mathrm{的}\mathrm{三}\mathrm{倍}\mathrm{加}\mathrm{到}\mathrm{第}\mathrm{一}\mathrm{行}}{=}\left|\begin{array}{ccc}x-2& 3(x-2)& 0\\ 1& x& -1\\ 0& x-2& x-2\end{array}\right|\end{array}$$

由于原行列式等于 $0$, 所以化简到足够程度的该行列式一定含有至少一个全 $0$ 行——

对于上面化简得到的行列式，第二行元素肯定不会全为 $0$, 而无论要使第一行元素全为 $0$, 还是使第二行元素全为 $0$, 都必须让 $x$ $=$ $2$, 因此，我们在这里就可以判断出答案为 $x$ $=$ $2$, 如果是在考试中，时间紧张，就可以先不用进行下面的计算了。

当然，我们继续进行计算，也可以得出 $x$ $=$ $2$ 这一结论：

$$\begin{array}{rl}& \left|\begin{array}{ccc}x-2& 3(x-2)& 0\\ 1& x& -1\\ 0& x-2& x-2\end{array}\right|\\ \\ & \Rightarrow x(x-2{)}^2–3(x-2{)}^2+(x-2{)}^2\\ \\ & \Rightarrow (x–2{)}^2(x–3+1)\\ \\ & \mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{2}\end{array}$$

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