平方降幂法：增加了项数，但项数多比次幂高更好算

一、题目

$$
I = \int _{ 0 } ^ { + \infty } \frac { 1 + x ^ { 2 } } { 1 + x ^ { 4 } } \mathrm { ~ d } x = ?
$$

难度评级：

二、解析

根据分子越复杂越好算，分母越复杂越难算的原理，我们知道，解决本题的第一步就应当是降低原式 $I$ 被积式中分母 “$1 + x ^{4}$” 的次幂——同时，为了降低次幂，我们甚至可以增加分母中“项”的个数。

分析可知，”$1 + x ^{4}$” 不适合使用求导降幂的方式降低次幂，因为求导降幂每次只能将幂次降低 $1$, 而式子 $I$ 分子和分母的幂次相差 $2$.

所以，我们就考虑利用“平方降幂法”降低分母的次幂，因为 $2$ 的平方刚好是 $4$, 对于本题，我们有：

$$
x ^{4} + 1 = (x ^{2} – 1) ^{2} + 2 x ^{2}
$$

Note

*当分母的次幂只比分子大 $1$ 的时候，可以使用“求导降幂法”；
**当分母的次幂比分子的次幂大 $2$ 的时候，可以使用本文的“平方降幂法”。

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于是：

$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \int _{ 0 } ^ { + \infty } \frac { 1 + x ^ { 2 } } { 1 + x ^ { 4 } } \mathrm { ~ d } x \\ \\
& = \int _{ 0 } ^ { + \infty } \frac { 1 + x ^ { 2 } } { \left( x ^ { 2 } – 1 \right) ^ { 2 } + 2 x ^ { 2 } } \mathrm { ~ d } x \\ \\
& = \int _{ 0 } ^ { + \infty } \frac { \left( \textcolor{yellow}{1 + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \right) \mathrm { ~d } x } { \left( x – \frac { 1 } { x } \right) ^ { 2 } + 2 } \\ \\
& = \int _{ 0 } ^ { + \infty } \frac { 1 } { \left( x – \frac { 1 } { x } \right) ^ { 2 } + 2 } \mathrm { ~ d } \left( \textcolor{yellow}{x – \frac{1}{x} } \right) \\ \\
& = \textcolor{orangered}{\frac{1}{2}} \cdot \textcolor{springgreen}{\sqrt{2}} \int _{ 0 } ^ { + \infty } \frac { 1 } { \left( \frac{x – \frac { 1 } { x }}{\textcolor{orangered}{ \sqrt{2} }} \right) ^ { 2 } + \textcolor{orangered}{ \frac{2}{2} } } \mathrm { ~ d } \left( \frac{x – \frac{1}{x}}{\textcolor{springgreen}{\sqrt{2}}} \right) \\ \\
& = \left. \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \arctan \frac { x – \frac { 1 } { x } } { \sqrt { 2 } } \right| _{ 0 } ^ { + \infty } \\ \\
& = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ \textcolor{tan}{\arctan (+ \infty)} – \textcolor{pink}{\arctan (- \infty)} \right] \\ \\
& = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ \textcolor{tan}{\frac { \pi } { 2 } } – \left(\textcolor{pink}{- \frac { \pi } { 2 } } \right) \right] \\ \\
& = \textcolor{green}{\boldsymbol{\frac { \pi } { \sqrt { 2 } } }}
\end{aligned}
$$

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