一、题目![题目 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/f68a9e590526998388b0f9b71bd5d3f73dda4ed9764819fe8f36488fa537e9b9499f465fd201d7c117b8901c3ad071915a34a688058a739ebc39835753a8d7cc.svg)
$$
I = \int _{ 0 } ^ { + \infty } \frac { 1 + x ^ { 2 } } { 1 + x ^ { 4 } } \mathrm { ~ d } x = ?
$$
难度评级:
二、解析 ![解析 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/6fff698aa5c66c6c7a143e3d2a00fa8ee7eab76be5360d89eb43a03143848e8cd60377c76bf830c93ec6603be5af661d9c52238834792ea548bf14de10b05ad9.svg)
根据分子越复杂越好算,分母越复杂越难算的原理,我们知道,解决本题的第一步就应当是降低原式 $I$ 被积式中分母 “$1 + x ^{4}$” 的次幂——同时,为了降低次幂,我们甚至可以增加分母中“项”的个数。
分析可知,”$1 + x ^{4}$” 不适合使用求导降幂的方式降低次幂,因为求导降幂每次只能将幂次降低 $1$, 而式子 $I$ 分子和分母的幂次相差 $2$.
所以,我们就考虑利用“平方降幂法”降低分母的次幂,因为 $2$ 的平方刚好是 $4$, 对于本题,我们有:
$$
x ^{4} + 1 = (x ^{2} – 1) ^{2} + 2 x ^{2}
$$
Note
*当分母的次幂只比分子大 $1$ 的时候,可以使用“求导降幂法”;
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**当分母的次幂比分子的次幂大 $2$ 的时候,可以使用本文的“平方降幂法”。
于是:
$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \int _{ 0 } ^ { + \infty } \frac { 1 + x ^ { 2 } } { 1 + x ^ { 4 } } \mathrm { ~ d } x \\ \\
& = \int _{ 0 } ^ { + \infty } \frac { 1 + x ^ { 2 } } { \left( x ^ { 2 } – 1 \right) ^ { 2 } + 2 x ^ { 2 } } \mathrm { ~ d } x \\ \\
& = \int _{ 0 } ^ { + \infty } \frac { \left( \textcolor{yellow}{1 + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \right) \mathrm { ~d } x } { \left( x – \frac { 1 } { x } \right) ^ { 2 } + 2 } \\ \\
& = \int _{ 0 } ^ { + \infty } \frac { 1 } { \left( x – \frac { 1 } { x } \right) ^ { 2 } + 2 } \mathrm { ~ d } \left( \textcolor{yellow}{x – \frac{1}{x} } \right) \\ \\
& = \textcolor{orangered}{\frac{1}{2}} \cdot \textcolor{springgreen}{\sqrt{2}} \int _{ 0 } ^ { + \infty } \frac { 1 } { \left( \frac{x – \frac { 1 } { x }}{\textcolor{orangered}{ \sqrt{2} }} \right) ^ { 2 } + \textcolor{orangered}{ \frac{2}{2} } } \mathrm { ~ d } \left( \frac{x – \frac{1}{x}}{\textcolor{springgreen}{\sqrt{2}}} \right) \\ \\
& = \left. \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \arctan \frac { x – \frac { 1 } { x } } { \sqrt { 2 } } \right| _{ 0 } ^ { + \infty } \\ \\
& = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ \textcolor{tan}{\arctan (+ \infty)} – \textcolor{pink}{\arctan (- \infty)} \right] \\ \\
& = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ \textcolor{tan}{\frac { \pi } { 2 } } – \left(\textcolor{pink}{- \frac { \pi } { 2 } } \right) \right] \\ \\
& = \textcolor{green}{\boldsymbol{\frac { \pi } { \sqrt { 2 } } }}
\end{aligned}
$$
高等数学![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。
线性代数![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
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特别专题![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
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