微分的经典物理应用：底部匀速滑动的梯子问题

一、题目

难度评级：

二、解析

根据题目，我们首先绘制出如图 01 所示的示意图：

在图中，梯子最顶端 $A$ 点在时刻 $t$ 的速度为 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$, 梯子最底端 $B$ 点在时刻 $t$ 的速度为 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$, 又因为，梯子 $A$ 点距离地面的垂直距离 $y$ 与梯子 $B$ 点在水平地面上滑动的距离 $x$ 满足如下关系是：

$$\begin{array}{rl}y& =\sqrt{{10}^2–x^2}\\ & =\sqrt{100–x^2}\end{array}$$

所以，根据荒原之梦考研数学的《沿墙面滑动的梯子的水平速度与垂直速度的关系式》这篇文章可知：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{x}{\sqrt{100–x^2}}\cdot \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\end{array}$$

又因为该梯子在水平方向上是以 $2\mathbf{m}\mathbf{/}\mathbf{s}$ 的速度匀速运动的，即 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ $=$ $2$, 所以，由 $(1)$ 式，可得：

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{2x}{\sqrt{100–x^2}}$$

因此，若要使梯子在垂直方向上的速度也为 $2\mathbf{m}\mathbf{/}\mathbf{s}$, 就要令 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ $=$ $2$, 即：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \frac{2x}{\sqrt{100–x^2}}=2\end{array}$$

对 $(2)$ 式进行求解：

$$\begin{array}{r}2\sqrt{100–x^2}=2x\\ & \Rightarrow 4(100–x^2)=4x^2\\ & \Rightarrow 400=8x^2\\ & \Rightarrow x^2=50\\ & \Rightarrow x=\sqrt{50}\end{array}$$

Note

通常情况下，我们认为移动的距离为正值，所以 $x$ $\ne$ $-\sqrt{50}$.

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也就是说，当梯子最底部的 $B$ 点移动的距离达到 $\sqrt{50}$ 的时候，梯子最顶部的 $A$ 点的速度达到 $2\mathbf{m}\mathbf{/}\mathbf{s}$.

Tip

由于梯子的长度为 $10$, 且 $\sqrt{50}$ $<$ $10$, 所以，此时的梯子并没有完全接触地面，这个水平滑动距离是符合实际情况的。

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又因为：

$$x=2t$$

所以：

$$\begin{array}{r}\sqrt{50}=2t\\ & \Rightarrow t=\frac{\sqrt{50}}{2}\end{array}$$

也就是说，当时刻 $t$ $=$ $\frac{\sqrt{50}}{2}$ 的时候，该梯子最顶端沿着墙面方向下滑的速度也达到 $2\mathbf{m}\mathbf{/}\mathbf{s}$.

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