一、题目![题目 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/f68a9e590526998388b0f9b71bd5d3f73dda4ed9764819fe8f36488fa537e9b9499f465fd201d7c117b8901c3ad071915a34a688058a739ebc39835753a8d7cc.svg)
已知有一个长度为 $10$ 米的梯子斜靠在垂直于地面的墙壁上,在 $t = 0$ 的时刻,这个梯子的最底端开始沿着水平的地面以 $2$ 米每秒的速度匀速向远离墙面的方向滑动,则在哪个时刻,该梯子最顶端沿着墙面方向下滑的速度也达到 $2$ 米每秒?
难度评级:
二、解析 ![解析 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/6fff698aa5c66c6c7a143e3d2a00fa8ee7eab76be5360d89eb43a03143848e8cd60377c76bf830c93ec6603be5af661d9c52238834792ea548bf14de10b05ad9.svg)
根据题目,我们首先绘制出如图 01 所示的示意图:
在图中,梯子最顶端 $A$ 点在时刻 $t$ 的速度为 $\frac{\mathrm{d} y }{\mathrm{d} t}$, 梯子最底端 $B$ 点在时刻 $t$ 的速度为 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$, 又因为,梯子 $A$ 点距离地面的垂直距离 $y$ 与梯子 $B$ 点在水平地面上滑动的距离 $x$ 满足如下关系是:
$$
\begin{aligned}
y & = \sqrt{10 ^{ 2 } – x ^{ 2 }} \\
& = \sqrt{100 – x ^{ 2 }}
\end{aligned}
$$
所以,根据荒原之梦考研数学的《沿墙面滑动的梯子的水平速度与垂直速度的关系式》这篇文章可知:
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = \frac{x}{\sqrt{100 – x ^{ 2 }}} \cdot \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \tag{1}
$$
又因为该梯子在水平方向上是以 $2 \mathbf{ m/s }$ 的速度匀速运动的,即 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$ $=$ $2$, 所以,由 $(1)$ 式,可得:
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = \frac{2 x}{\sqrt{100 – x ^{ 2 }}}
$$
因此,若要使梯子在垂直方向上的速度也为 $2 \mathbf{m/s}$, 就要令 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$ $=$ $2$, 即:
$$
\frac{2 x}{\sqrt{100 – x ^{ 2 }}} = 2 \tag{2}
$$
对 $(2)$ 式进行求解:
$$
\begin{aligned}
2 \sqrt{100 – x ^{ 2 }} = 2x \\
& \Rightarrow 4 (100 – x ^{ 2 }) = 4 x ^{ 2 } \\
& \Rightarrow 400 = 8 x ^{ 2 } \\
& \Rightarrow x ^{ 2 } = 50 \\
& \Rightarrow x = \sqrt{50}
\end{aligned}
$$
Note
通常情况下,我们认为移动的距离为正值,所以 $x$ $\neq$ $- \sqrt{50}$.
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也就是说,当梯子最底部的 $B$ 点移动的距离达到 $\sqrt{50}$ 的时候,梯子最顶部的 $A$ 点的速度达到 $2 \mathbf{m/s}$.
Tip
由于梯子的长度为 $10$, 且 $\sqrt{50}$ $<$ $10$, 所以,此时的梯子并没有完全接触地面,这个水平滑动距离是符合实际情况的。
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又因为:
$$
x = 2t
$$
所以:
$$
\begin{aligned}
\sqrt{50} = 2t \\
& \Rightarrow t = \frac{\sqrt{50}}{2}
\end{aligned}
$$
也就是说,当时刻 $t$ $=$ $\frac{\sqrt{50}}{2}$ 的时候,该梯子最顶端沿着墙面方向下滑的速度也达到 $2 \mathbf{m/s}$.
高等数学![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。
线性代数![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
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特别专题![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。