微分的经典物理应用：底部匀速滑动的梯子问题

一、题目

难度评级：

二、解析

根据题目，我们首先绘制出如图 01 所示的示意图：

在图中，梯子最顶端 $A$ 点在时刻 $t$ 的速度为 $\frac{\mathrm{d} y }{\mathrm{d} t}$, 梯子最底端 $B$ 点在时刻 $t$ 的速度为 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$, 又因为，梯子 $A$ 点距离地面的垂直距离 $y$ 与梯子 $B$ 点在水平地面上滑动的距离 $x$ 满足如下关系是：

$$
\begin{aligned}
y & = \sqrt{10 ^{ 2 } – x ^{ 2 }} \\
& = \sqrt{100 – x ^{ 2 }}
\end{aligned}
$$

所以，根据荒原之梦考研数学的《沿墙面滑动的梯子的水平速度与垂直速度的关系式》这篇文章可知：

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = \frac{x}{\sqrt{100 – x ^{ 2 }}} \cdot \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \tag{1}
$$

又因为该梯子在水平方向上是以 $2 \mathbf{ m/s }$ 的速度匀速运动的，即 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$ $=$ $2$, 所以，由 $(1)$ 式，可得：

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = \frac{2 x}{\sqrt{100 – x ^{ 2 }}}
$$

因此，若要使梯子在垂直方向上的速度也为 $2 \mathbf{m/s}$, 就要令 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$ $=$ $2$, 即：

$$
\frac{2 x}{\sqrt{100 – x ^{ 2 }}} = 2 \tag{2}
$$

对 $(2)$ 式进行求解：

$$
\begin{aligned}
2 \sqrt{100 – x ^{ 2 }} = 2x \\
& \Rightarrow 4 (100 – x ^{ 2 }) = 4 x ^{ 2 } \\
& \Rightarrow 400 = 8 x ^{ 2 } \\
& \Rightarrow x ^{ 2 } = 50 \\
& \Rightarrow x = \sqrt{50}
\end{aligned}
$$

Note

通常情况下，我们认为移动的距离为正值，所以 $x$ $\neq$ $- \sqrt{50}$.

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也就是说，当梯子最底部的 $B$ 点移动的距离达到 $\sqrt{50}$ 的时候，梯子最顶部的 $A$ 点的速度达到 $2 \mathbf{m/s}$.

Tip

由于梯子的长度为 $10$, 且 $\sqrt{50}$ $<$ $10$, 所以，此时的梯子并没有完全接触地面，这个水平滑动距离是符合实际情况的。

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又因为：

$$
x = 2t
$$

所以：

$$
\begin{aligned}
\sqrt{50} = 2t \\
& \Rightarrow t = \frac{\sqrt{50}}{2}
\end{aligned}
$$

也就是说，当时刻 $t$ $=$ $\frac{\sqrt{50}}{2}$ 的时候，该梯子最顶端沿着墙面方向下滑的速度也达到 $2 \mathbf{m/s}$.

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