一、题目
$$
I = \int \frac { \mathrm { d } x } { 1 + \sin x + \cos x } = ?
$$
难度评级：
二、解析 
对题目中的式子直接进行积分运算是很困难的，所以，我们就需要做代换变形，但是，用什么做代换呢？
化简分母，丰富分子
一般情况下，对于被积函数是分式的情况，我们首先考虑的就是将尽可能消去分母，并且尽可能让分子上的式子变多——也就是说，尽可能将分母转移成分子，因为这样才更有可能消去分式，能利用的积分公式也就更多一些。
那么，在本题中，如何“化简分母，丰富分子”就是我们思考解题方式的重点。
根据荒原之梦考研数学的《公式：已知 tan 的值，求 sin 和 cos 的值》这篇文章可知，若令：$\tan \frac { x } { 2 }$ $=$ $t$, 则：
$\begin{aligned}
\textcolor{blue}{\sin x} & = \textcolor{blue}{\frac { 2 t } { 1 + t ^ { 2 } } } \\ \\
\textcolor{blue}{\cos x} & = \textcolor{blue}{\frac { 1 – t ^ { 2 } } { 1 + t ^ { 2 } } }
\end{aligned}$
此外，由 $\tan \frac{x}{2}$ $=$ $t$ 可知：
$\begin{aligned}
\arctan (\tan \frac{x}{2}) \\ \\
& = \frac{x}{2} \\ \\
& = \arctan t \\ \\
& \Rightarrow x = 2 \arctan t
\end{aligned}$
于是：
$(x)^{\prime}_{x}$ $=$ $2(\arctan t)^{\prime}_{t}$ $\Rightarrow$ $\textcolor{blue}{\mathrm{d} x}$ $=$ $\textcolor{blue}{ 2 \cdot \frac{1}{1 + t^{2}} \mathrm{~d} t }$
因此可知，若令 $\tan \frac { x } { 2 }$ $=$ $t$, 就能在分母中产生一些分式，让原本只能在分母上的 $\sin x$ 和 $\cos x$ 以另一种形式移动到分子上，即：
$$
\begin{aligned}
\int \frac { \mathrm { d } x } { 1 + \sin x + \cos x } \\ \\
& = \int \frac { \frac { 2 } { 1 + t ^ { 2 } } \mathrm { ~ d } t } { 1 + \frac { 2 t } { 1 + t ^ { 2 } } + \frac { 1 – t ^ { 2 } } { 1 + t ^ { 2 } } } \\ \\
& = \int \frac{2}{1+t^{2}} \cdot \frac{1+t^{2}}{2+2t} \mathrm{~d} t \\ \\
& = \int \frac { 2 \mathrm { d } t } { 2t + 2 } \\ \\
& = \int \frac { \mathrm { d } t } { t + 1 } \\ \\
& = \ln | t + 1 | + C \\ \\
& \xlongequal{t = \tan (x/2) } \textcolor{green}{ \boldsymbol{\ln \left| \tan \frac { x } { 2 } + 1 \right| + C} }
\end{aligned}
$$
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