分子越复杂越好算，分母越复杂越难算：在分母中构造分式，可以将分母中的内容往分子中转移

一、题目

难度评级：

二、解析

因此可知，若令 $\tan \frac{x}{2}$ $=$ $t$, 就能在分母中产生一些分式，让原本只能在分母上的 $\sin x$ 和 $\cos x$ 以另一种形式移动到分子上，即：

$$\begin{array}{r}\int \frac{\mathrm{d}x}{1+\sin x+\cos x}\\ \\ & =\int \frac{\frac{2}{1+t^2}\mathrm{d}t}{1+\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1–t^2}{1+t^2}}\\ \\ & =\int \frac{2}{1+t^2}\cdot \frac{1+t^2}{2+2t}\mathrm{d}t\\ \\ & =\int \frac{2\mathrm{d}t}{2t+2}\\ \\ & =\int \frac{\mathrm{d}t}{t+1}\\ \\ & =\ln |t+1|+C\\ \\ & \stackrel{t=\tan (x/2)}{=}\mathbf{ln}\mathbf{}|\mathbf{tan}\mathbf{}\frac{\mathit{x}}{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{1}|\mathbf{+}\mathit{C}\end{array}$$

拓展资料

其实，“分子越复杂越好算，分母越复杂越难算”的原理不仅会出现在积分的题目中，在其他的一些题目中也经常可以用到。同时，为了使分母更简单，我们不仅可以使用“化简分子”的方式——

如果一个式子的分子比分母更简单一些，我们也可以通过对原式子取倒数，让分母变得简单。

例如下面这道高中数学的题目，就是通过对原式取倒数的方式扭转了分子和分母的复杂性，从而找到了解题的突破口：

题目

已知正项数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项积为 $K_n$, 且 $K_n$ $=$ $\frac{a_n}{a_n–1}$, 请证明 $\{T_n\}$ 为等差数列。

解析

由题可知：

$$\begin{array}{rl}{K}_1& =a_1\\ K_2& =a_1\cdot a_2\\ & ⋮\\ K_{n-1}& =a_1\cdot a_2\cdots a_{n-1}\\ K_n& =a_1\cdot a_2\cdots a_{n-1}\cdot a_n\end{array}$$

于是：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{K_{n-1}}{K_n}=\frac{1}{a_n}\end{array}$$

又由于：

$$K_n=\frac{a_n}{a_n–1}$$

所以：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \frac{1}{K_n}=\frac{a_n–1}{a_n}=1–\frac{1}{a_n}\end{array}$$

接着，由上面的 $(1)$ 式，可知：

$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{K_n}=1–\frac{K_{n-1}}{K_n}\\ \\ \Rightarrow & \frac{1}{K_n}=\frac{K_n}{K_n}–\frac{K_{n-1}}{K_n}\\ \\ \Rightarrow & \frac{1}{K_n}=\frac{K_n}{K_n}–\frac{K_{n-1}}{K_n}\\ \\ \Rightarrow & 1=K_n–K_{n-1}\\ \\ \Rightarrow & {\mathit{K}}_{\mathit{n}\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{-}{\mathit{K}}_{\mathit{n}}=\mathbf{1}\end{array}$$

于是，$\{T_n\}$ 为等差数列得证。

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