一、题目![题目 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/f68a9e590526998388b0f9b71bd5d3f73dda4ed9764819fe8f36488fa537e9b9499f465fd201d7c117b8901c3ad071915a34a688058a739ebc39835753a8d7cc.svg)
$$
I = \int \frac { \mathrm { d } x } { 1 + \sin x + \cos x } = ?
$$
难度评级:
二、解析 ![解析 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/6fff698aa5c66c6c7a143e3d2a00fa8ee7eab76be5360d89eb43a03143848e8cd60377c76bf830c93ec6603be5af661d9c52238834792ea548bf14de10b05ad9.svg)
对题目中的式子直接进行积分运算是很困难的,所以,我们就需要做代换变形,但是,用什么做代换呢?
化简分母,丰富分子
一般情况下,对于被积函数是分式的情况,我们首先考虑的就是将尽可能消去分母,并且尽可能让分子上的式子变多——也就是说,尽可能将分母转移成分子,因为这样才更有可能消去分式,能利用的积分公式也就更多一些。
那么,在本题中,如何“化简分母,丰富分子”就是我们思考解题方式的重点。
根据荒原之梦考研数学的《公式:已知 tan 的值,求 sin 和 cos 的值》这篇文章可知,若令:$\tan \frac { x } { 2 }$ $=$ $t$, 则:
$\begin{aligned}
\textcolor{blue}{\sin x} & = \textcolor{blue}{\frac { 2 t } { 1 + t ^ { 2 } } } \\ \\
\textcolor{blue}{\cos x} & = \textcolor{blue}{\frac { 1 – t ^ { 2 } } { 1 + t ^ { 2 } } }
\end{aligned}$
此外,由 $\tan \frac{x}{2}$ $=$ $t$ 可知:
$\begin{aligned}
\arctan (\tan \frac{x}{2}) \\ \\
& = \frac{x}{2} \\ \\
& = \arctan t \\ \\
& \Rightarrow x = 2 \arctan t
\end{aligned}$
于是:
$(x)^{\prime}_{x}$ $=$ $2(\arctan t)^{\prime}_{t}$ $\Rightarrow$ $\textcolor{blue}{\mathrm{d} x}$ $=$ $\textcolor{blue}{ 2 \cdot \frac{1}{1 + t^{2}} \mathrm{~d} t }$
因此可知,若令 $\tan \frac { x } { 2 }$ $=$ $t$, 就能在分母中产生一些分式,让原本只能在分母上的 $\sin x$ 和 $\cos x$ 以另一种形式移动到分子上,即:
$$
\begin{aligned}
\int \frac { \mathrm { d } x } { 1 + \sin x + \cos x } \\ \\
& = \int \frac { \frac { 2 } { 1 + t ^ { 2 } } \mathrm { ~ d } t } { 1 + \frac { 2 t } { 1 + t ^ { 2 } } + \frac { 1 – t ^ { 2 } } { 1 + t ^ { 2 } } } \\ \\
& = \int \frac{2}{1+t^{2}} \cdot \frac{1+t^{2}}{2+2t} \mathrm{~d} t \\ \\
& = \int \frac { 2 \mathrm { d } t } { 2t + 2 } \\ \\
& = \int \frac { \mathrm { d } t } { t + 1 } \\ \\
& = \ln | t + 1 | + C \\ \\
& \xlongequal{t = \tan (x/2) } \textcolor{green}{ \boldsymbol{\ln \left| \tan \frac { x } { 2 } + 1 \right| + C} }
\end{aligned}
$$
高等数学![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。
线性代数![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。
特别专题![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。