伴随矩阵的特征值与原矩阵的特征值之间有什么关系？

一、题目

难度评级：

二、解析

解法一：用特征值的定义求解

首先，令：

$$B=\alpha {\mathit{\beta }}^{\mathrm{\top }}$$

则：

$$B=\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right][1,–1,2]=\left[\begin{array}{ccc}1& –1& 2\\ 3& –3& 6\\ 2& –2& 4\end{array}\right]$$

接着，开始求解矩阵 $B$ 的特征值：

$$\begin{array}{r}|\lambda E–B|\\ \\ & ={\lambda }^3–2{\lambda }^2\\ \\ & ={\lambda }^2(\lambda –2)\\ \\ & =0\\ \\ & \Rightarrow \{\begin{array}{l}{\lambda }_1=2\\ {\lambda }_2=0\\ {\lambda }_3=0\end{array}\end{array}$$

又由于 $A$ 与 $B$ 相似，所以，矩阵 $A$ 的特征值也是：

$$\{\begin{array}{l}{\lambda }_a=2\\ {\lambda }_b=0\\ {\lambda }_c=0\end{array}$$

进而可知，矩阵 $2A+E$ 的特征值为：

$$\{\begin{array}{l}{\lambda }_{\ast }=5\\ {\lambda }_{\ast \ast }=1\\ {\lambda }_{\ast \ast \ast }=1\end{array}$$

又因为，行列式：

$$|2A+E|=5\times 1\times 1=5$$

所以，伴随矩阵 $(2A+E{)}^{\ast }$ 的特征值为：

$$\{\begin{array}{l}\overline{{\lambda }_1}=1\\ \overline{{\lambda }_2}=5\\ \overline{{\lambda }_3}=5\end{array}$$

解法二：用秩为 1 的矩阵的性质

首先，与解法一类似，令：

$$B=\alpha {\beta }^{\mathrm{\top }}$$

则：

$$\begin{array}{r}B\\ \\ & =\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right][1,–1,2]\\ \\ & =\left[\begin{array}{ccc}1& –1& 2\\ 3& –3& 6\\ 2& –2& 4\end{array}\right]\\ \\ & =\left[\begin{array}{ccc}1& –1& 2\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\end{array}$$

于是可知，矩阵 $B$ 的秩为：

$$r(B)=1$$

接着，根据秩为 $1$ 的矩阵的性质可知，矩阵 $B$ 的特征值为：

$$\{\begin{array}{l}{\lambda }_1=0\\ {\lambda }_2=0\\ {\lambda }_3=\mathrm{t}\mathrm{r}(B)={\mathit{\beta }}^{\mathrm{\top }}\mathit{\alpha }=1–3+4=2\end{array}$$

即：

$$\{\begin{array}{l}{\lambda }_1=0\\ {\lambda }_2=0\\ {\lambda }_3=2\end{array}$$

之后我们就可以根据矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 相似确定矩阵 $A$ 的特征值，之后就可以依次确定矩阵 $(2A+E)$ 与 $(2A+E{)}^{\ast }$ 的特征值。

Note

这部分的解题过程与解法一相同，大家可以参考解法一完成这部分解答。

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