高阶行列式的计算思路：降阶或者找规律

一、题目

(A) $a_1{a}_2{a}_3{a}_4$ $-$ $b_1{b}_2{b}_3{b}_4$

(B) $a_1{a}_2{a}_3{a}_4$ $+$ $b_1{b}_2{b}_3{b}_4$

(C) $\left(a_2{a}_3–b_2{b}_3\right)$ $\left(a_1{a}_4–b_1{b}_4\right)$

(D) $\left(a_1{a}_2–b_1{b}_2\right)$ $\left(a_3{a}_4–b_3{b}_4\right)$

难度评级：

二、解析

解法一

Tip

该解法就是利用行列式的性质“降阶”，之后再按照低阶行列式的计算公式计算。

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$$\begin{array}{r}\left|\begin{array}{cccc}{a}_1& 0& 0& b_1\\ 0& a_2& b_2& 0\\ 0& b_3& a_3& 0\\ b_4& 0& 0& a_4\end{array}\right|\\ \\ & \underrightarrow{\mathrm{降}\mathrm{为}3\mathrm{阶}\mathrm{行}\mathrm{列}\mathrm{式}}\\ \\ & =a_1\times (–1{)}^{1+1}\left|\begin{array}{ccc}{a}_2& b_2& 0\\ b_3& a_3& 0\\ 0& 0& a_4\end{array}\right|\\ \\ & +b_1\times (–1{)}^{1+4}\left|\begin{array}{ccc}0& a_2& b_2\\ 0& b_3& a_3\\ b_4& 0& 0\end{array}\right|\\ \\ & \underrightarrow{\mathrm{降}\mathrm{为}2\mathrm{阶}\mathrm{行}\mathrm{列}\mathrm{式}}\\ \\ & =a_1{a}_4\left|\begin{array}{ll}{a}_2& b_2\\ b_3& a_3\end{array}\right|–b_1{b}_4\left|\begin{array}{ll}{a}_2& b_2\\ b_3& a_3\end{array}\right|\\ \\ & =\left({\mathit{a}}_{\mathbf{2}}{\mathit{a}}_{\mathbf{3}}–{\mathit{b}}_{\mathbf{2}}{\mathit{b}}_{\mathbf{3}}\right)\left({\mathit{a}}_{\mathbf{1}}{\mathit{a}}_{\mathbf{4}}–{\mathit{b}}_{\mathbf{1}}{\mathit{b}}_{\mathbf{4}}\right)\end{array}$$

因此，本题应选 C.

解法二

Tip

该解法是先对行列式进行变形，形成位于对角线上的分块行列式，之后再利用分块行列式的计算公式计算。

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$$\begin{array}{rl}& \left|\begin{array}{cccc}{a}_1& 0& 0& b_1\\ 0& a_2& b_2& 0\\ 0& b_3& a_3& 0\\ b_4& 0& 0& a_4\end{array}\right|\underrightarrow{\mathrm{交}\mathrm{换}\mathrm{第}2\mathrm{列}\mathrm{和}\mathrm{第}4\mathrm{列}}\\ \\ & \left|\begin{array}{cccc}{a}_1& b_1& 0& 0\\ 0& 0& b_2& a_2\\ 0& 0& a_3& b_3\\ b_4& a_4& 0& 0\end{array}\right|\underrightarrow{\mathrm{交}\mathrm{换}\mathrm{第}2\mathrm{行}\mathrm{和}\mathrm{第}4\mathrm{行}}\\ \\ & \left|\begin{array}{cccc}{a}_1& b_1& 0& 0\\ b_4& a_4& 0& 0\\ 0& 0& a_3& b_3\\ 0& 0& b_2& a_2\end{array}\right|\\ \\ & =\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ b_4& a_4\end{array}\right|\cdot \left|\begin{array}{cc}{a}_3& b_3\\ b_2& a_2\end{array}\right|\\ \\ & =(a_1{a}_4–b_1{b}_4)(a_2{a}_3–b_2{b}_3)\\ \\ & =\mathbf{(}{\mathit{a}}_{\mathbf{2}}{\mathit{a}}_{\mathbf{3}}–{\mathit{b}}_{\mathbf{2}}{\mathit{b}}_{\mathbf{3}}\mathbf{)}\mathbf{(}{\mathit{a}}_{\mathbf{1}}{\mathit{a}}_{\mathbf{4}}–{\mathit{b}}_{\mathbf{1}}{\mathit{b}}_{\mathbf{4}}\mathbf{)}\end{array}$$

综上可知，本 题 应 选 C

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