当特征值等于零的时候，求解特征值和特征向量的式子其实就是一个齐次线性方程组

一、题目

A. $(1,1,1{)}^{\mathrm{\top }},(1,–1,0{)}^{\mathrm{\top }}$

B. $(1,1,0{)}^{\mathrm{\top }},(1,0,1{)}^{\mathrm{\top }}$

C. $(1,1,–1{)}^{\mathrm{\top }},(–1,0,1{)}^{\mathrm{\top }}$

D. $(1,1,0{)}^{\mathrm{\top }},(–1,0,1{)}^{\mathrm{\top }}$

难度评级：

解 题 思 路 简 图

解题思路简图锚点

二、解析

首先，对题目已知条件 $(\mathit{A}–2\mathit{E})\mathit{\alpha }$ $=$ $0$ 变形，可得：

$$\mathit{A}\mathit{\alpha }=2\mathit{\alpha }$$

Tip

显然，上面的式子不满足 $\mathit{A}x$ $=$ $0$ 的形式，因此，我们需要继续求解其他的特征值和特征向量。

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于是可知 ${\lambda }_1$ $=$ $2$ 是矩阵 $\mathit{A}$ 的一个特征值，且对应的特征向量为：

$${\mathit{\alpha }}_1=\mathit{\alpha }=(–1,1,1{)}^{\mathrm{\top }}$$

又由于 $\mathit{A}$ 是实对称矩阵，且其秩 $r(\mathit{A})$ $=$ $1$, 因此，根据实对称矩阵的性质，$3$ 阶矩阵 $\mathit{A}$ 一定有 $3-1=2$ 个为零的特征值，即：

$$\{\begin{array}{l}{\lambda }_2=0\\ {\lambda }_3=0\end{array}$$

Tip

由于特征值为 $0$, 根据特征值和特征向量的关系式，我们有 $\mathit{A}{\mathit{\beta }}_2$ $=$ ${\lambda }_2$ $=$ $0$, 以及 $\mathit{A}{\mathit{\beta }}_3$ $=$ ${\lambda }_3$ $=$ $0$, 这就满足了题目要求解的 $\mathit{A}x$ $=$ $0$ 的形式，从而 ${\mathit{\beta }}_2$ 和 ${\mathit{\beta }}_3$ 就是我们要找的基础解系。

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若设 ${\lambda }_2$ 和 ${\lambda }_2$ 对应的特征向量为 $\mathit{\beta }$ $=$ ${(x_1,x_2,x_3)}^{\mathrm{\top }}$, 则根据实对称阵不同的特征值对应的特征向量必正交的定理，有：

$${\mathit{\beta }}^{\mathrm{\top }}\mathit{\alpha }=0\Rightarrow$$

$$(x_1,x_2,x_3)\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right)=0\Rightarrow$$

$$–x_1+x_2+x_3=0\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=1\\ x_2=1\\ x_3=0\end{array}\text{ 或者 }\{\begin{array}{l}{x}_1=1\\ x_2=0\\ x_3=1\end{array}$$

即：

$$\{\begin{array}{ll}& {\mathit{\beta }}_2=(1,1,0{)}^{\mathrm{\top }}\\ \\ & {\mathit{\beta }}_3=(1,0,1{)}^{\mathrm{\top }}\end{array}$$

Warning

根据前面的分析可知，到这一步我们已经可以结束计算了，如果是真实考试中，只要前面的计算没有错误，接下来的步骤就不需要进行了，下面的步骤只是做进一步的验证。

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将 ${\lambda }_2$ $=$ $0$ 和 ${\mathit{\beta }}_2$ $=$ $(1,1,0{)}^{\mathrm{\top }}$ 代入特征向量的求解公式 $(\lambda E–A)x$ $=$ $0$, 得：

$$\begin{array}{r}(0E–\mathit{A}){\mathit{\beta }}_2=0\\ & \Rightarrow –\mathit{A}{\mathit{\beta }}_2=0\\ & \Rightarrow \mathit{A}{\mathit{\beta }}_2=0\end{array}$$

将 ${\lambda }_3$ $=$ $0$ 和 ${\mathit{\beta }}_3$ $=$ $(1,0,1{)}^{\mathrm{\top }}$ 代入特征向量的求解公式 $(\lambda E–A)x$ $=$ $0$, 得：

$$\begin{array}{r}(0E–\mathit{A}){\mathit{\beta }}_3=0\\ & \Rightarrow –\mathit{A}{\mathit{\beta }}_3=0\\ & \Rightarrow \mathit{A}{\mathit{\beta }}_3=0\end{array}$$

因此 $A\mathit{x}$ $=$ $\mathbf{0}$ 的基础解系为：

$$\{\begin{array}{l}(1,1,0{)}^{\mathrm{\top }}\\ (1,0,1{)}^{\mathrm{\top }}\end{array}$$

综上可知，本 题 应 选 B

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