2024年考研数二第21题解析：证明绝对值式子小于XX，需要“两头围堵”

第 (2) 问

对第（1）问证得的结论 $f(x)$ $-$ $f(0)(1-x)$ $-$ $f(1)x$ $\le$ $\frac{x(1-x)}{2}$ 两边同时取从 $0$ 到 $1$ 的定积分，可得：

$${\int }_0^1[f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x]\mathrm{d}x\le {\int }_0^1\frac{x(1-x)}{2}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$${\int }_0^1[f(x)–f(0)+xf(0)–xf(1)]\mathrm{d}x\le \frac{1}{2}{\int }_0^1(x–x^2)\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x+\frac{f(0)–f(1)}{2}–f(0)\le \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}{x}^2{|}_0^1–\frac{1}{3}{x}^3{|}_0^1\right)\Rightarrow$$

$${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x+\frac{f(0)–f(1)}{2}–f(0)\le \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}–\frac{1}{3}\right)\Rightarrow$$

$${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x-\frac{f(0)+f(1)}{2}\le \frac{1}{12}$$

类似的，由第（1）问中的结论 $f(x)$ $-$ $f(0)(1-x)$ $-$ $f(1)x$ $\ge$ $-\frac{x(1-x)}{2}$, 可得：

$${\int }_0^1[f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x]\mathrm{d}x\ge {\int }_0^1-\frac{x(1-x)}{2}\mathrm{d}x$$

$${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x-\frac{f(0)+f(1)}{2}\ge -\frac{1}{12}$$

综上可得：

$$|{\mathbf{\int }}_{\mathbf{0}}^{\mathbf{1}}\mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{d}\mathit{x}\mathbf{-}\frac{\mathit{f}\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathit{f}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{)}}{\mathbf{2}}|\mathbf{\le }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{12}}$$

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