利用零点定理和单调性判断实根个数的原理分析与例题

前言

利用零点定理和单调性判断函数在一个区间内零点的具体个数或者大致个数属于考研数学中一类基础题目。在本文中，荒原之梦考研数学将通过多张函数图像，形象的阐述清楚该考点的原理，还会通过一些例题，加深同学们对该考点的理解。

原理

一般情况下，我们遇到的最简单的题目就是如图 01 和图 02 所示的这种情况，这种情况的特点是，函数在区间 $[a, b]$ 上是单调的，且在 $x = a$ 和 $x = b$ 时的函数值刚好一正一负，位于 $X$ 轴的上下两侧，这样的函数在区间 $[a, b]$ 上必然存在且只存在一个零点：

利用零点定理和单调性判断实根个数的原理分析与例题 | 荒原之梦考研数学 | 图 01. — 图 01.

利用零点定理和单调性判断实根个数的原理分析与例题 | 荒原之梦考研数学 | 图 02. — 图 02.

当然，我们也可能会遇到虽然函数在 $x = a$ 和 $x = b$ 两端点处的函数值异号，但是由于函数的单调性在区间 $[a, b]$ 中多次发生改变，从而导致产生多个零点的情况，这种情况下，我们如果要准确找出函数零点的个数，就需要通过一阶导等工具进一步确定函数的驻点，进而利用驻点作为端点对区间 $[a, b]$ 进行再次的分段，判断每个单调分段中零点的个数（如图 03 和图 04 所示）：

利用零点定理和单调性判断实根个数的原理分析与例题 | 荒原之梦考研数学 | 图 03. — 图 03.

利用零点定理和单调性判断实根个数的原理分析与例题 | 荒原之梦考研数学 | 图 04. — 图 04.

当然，端点异号只是零点存在的必要条件，并不是说只有端点异号才能产生零点，如图 05、图 06 图 07 和图 08 所示，即使端点 $x = a$ 和 $x = b$ 处的函数值都是正数或者负数，仍然可能存在零点，甚至不止一个零点：

利用零点定理和单调性判断实根个数的原理分析与例题 | 荒原之梦考研数学 | 图 05. — 图 05.

利用零点定理和单调性判断实根个数的原理分析与例题 | 荒原之梦考研数学 | 图 07. — 图 07.

利用零点定理和单调性判断实根个数的原理分析与例题 | 荒原之梦考研数学 | 图 06. — 图 06.

为了表述方便，在上面我们使用的闭区间 $[a, b]$ , 也就是说函数是可以在 $x = a$ 和 $x = b$ 这两个点上直接取值的。但是，即使在开区间 $(a, b)$ 上，上面的性质也仍然成立，因为此时函数虽然没办法直接在 $x = a$ 和 $x = b$ 这两个点上直接取值，但可以通过极限的方式确定极限值，从而得到极限值的正负。

例题

题目 01

已知，函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f (x)$ $>$ $0$ , $F (x)$ $=$ $\int_{a}^{x} f (t) d t$ $+$ $\int_{b}^{x} \frac{1}{f (t)} d t$ ，则方程 $F (x) = 0$ 在区间 $[a, b]$ 上的不同实根有多少个？

(A). 1

(B). 2

(C). 3

(D). 4

难度评级：

解析 01

首先，计算左端点 $x = a$ 的函数值，并判断正负：

$\begin{aligned} F (a) \\ = \int_{a}^{a} f (t) d t + \int_{b}^{a} \frac{1}{f (t)} d t \\ = - \int_{a}^{b} \frac{d t}{f (t)} < 0 \end{aligned}$

接着，计算右端点 $x = b$ 的函数值，并判断正负：

$\begin{aligned} F (b) \\ = \int_{a}^{b} f (t) d t + \int_{b}^{b} \frac{1}{f (t)} d t \\ = \int_{a}^{b} f (t) d t > 0 \end{aligned}$

至此，由零点定理, $F (x)$ $=$ $0$ 在区间 $[a, b]$ 上至少有一个实根。

又由于：

$F^{'} (x) = f (x) + \frac{1}{f (x)} > 0$

因此函数 $F (x)$ 严格单调增加，所以函数 $F (x)$ 只有一个实根，本题应选 A 荒原之梦考研数学 | 本文结束

前言

原理

例题

题目 01

解析 01

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