2024年考研数二第16题解析：矩阵的化简

一、题目

难度评级：

二、解析

由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关, 而其中任意两个向量均线性无关, 得：

$$
r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)=2
$$

如果 $a = 1$, 则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 就会线性相关，此时 $r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)=1$, 因此：

$$
a \neq 1
$$

获取了这些基本信息之后，我们对矩阵 $\left(\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)$ 进行初等行变换：

$$
\begin{aligned}
\left(\alpha_{2}, \alpha_{1}, \alpha_{3}\right) & = \left(\begin{array}{ccc}
1 & a & 1 \\
1 & 1 & a \\
b & -1 & -1 \\
a & 1 & 1
\end{array}\right) \\ \\
& \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}
1 & a & 1 \\
0 & 1-a & a-1 \\
0 & -1-a b & -1-b \\
0 & 1-a^{2} & 1-a
\end{array}\right) \\ \\
& \rightarrow \left(\begin{array}{ccc}
1 & a & 1 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & -1-a b & -1-b \\
0 & 1+a & 1
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$

于是，第 $3$ 行和第 $2$ 成比例，第 $4$ 行和第 $2$ 行也要成比例（只有这样才能保证将第 $3$, $4$ 两行全部消为 $0$）：

$$
\begin{aligned}
\frac{-1-ab}{1} & = \frac{-1-b}{-1} \Rightarrow \frac{\textcolor{springgreen}{-1-ab}}{\textcolor{orangered}{1}} = \frac{\textcolor{springgreen}{1+b}}{\textcolor{orangered}{1}}\\ \\
\frac{1+a}{1} & = \frac{1}{-1} \Rightarrow \frac{\textcolor{springgreen}{1+a}}{\textcolor{orangered}{1}} = \frac{\textcolor{springgreen}{-1}}{\textcolor{orangered}{1}}
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\begin{cases}
\textcolor{springgreen}{-1-a b=1+b} \\
\textcolor{springgreen}{1+a=-1}
\end{cases}
$$

解得：

$$
\begin{cases}
a=-2 \\
b=2
\end{cases}
$$

因此 $a b=-4$

当然，矩阵化简操作还可以这样进行：
$\begin{aligned}
\left(\begin{array}{lll}
\alpha_{1} & \alpha_{2} & \alpha_{3}
\end{array}\right) & = \left(\begin{array}{ccc}
a & 1 & 1 \\
1 & 1 & a \\
-1 & b & -1 \\
1 & a & 1
\end{array}\right) \\ \\
& \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & a \\
0 & 1-a & 1-a^{2} \\
0 & b+1 & a-1 \\
0 & a-1 & 1-a
\end{array}\right) \\ \\
& \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & a \\
0 & a-1 & 1-a \\
0 & b+1 & a-1 \\
0 & 0 & (1-a)(2+a)
\end{array}\right) \\ \\
& \rightarrow \left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & a \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & b+1 & a-1 \\ 0 & 0 & a+2\end{array}\right) \\ \\
& \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & a \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & a+2 \\ 0 & 0 & a+b\end{array}\right)
\end{aligned}$

之后可知：$\begin{cases}
a+2=0 \\
a+b=0
\end{cases} \Rightarrow$

$\begin{cases}
a = -2 \\
b = 2
\end{cases} \Rightarrow$

$ab=-4$

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