2024年考研数二第16题解析：矩阵的化简

一、题目

难度评级：

二、解析

由 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3$ 线性相关, 而其中任意两个向量均线性无关, 得：

$$r({\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3)=2$$

如果 $a=1$, 则 ${\mathit{\alpha }}_1$ 和 ${\mathit{\alpha }}_1$ 就会线性相关，此时 $r({\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3)=1$, 因此：

$$a\ne 1$$

获取了这些基本信息之后，我们对矩阵 $({\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_3)$ 进行初等行变换：

$$\begin{array}{rl}({\alpha }_2,{\alpha }_1,{\alpha }_3)& =\left(\begin{array}{ccc}1& a& 1\\ 1& 1& a\\ b& -1& -1\\ a& 1& 1\end{array}\right)\\ \\ & \to \left(\begin{array}{ccc}1& a& 1\\ 0& 1-a& a-1\\ 0& -1-ab& -1-b\\ 0& 1-a^2& 1-a\end{array}\right)\\ \\ & \to \left(\begin{array}{ccc}1& a& 1\\ 0& 1& -1\\ 0& -1-ab& -1-b\\ 0& 1+a& 1\end{array}\right)\end{array}$$

于是，第 $3$ 行和第 $2$ 成比例，第 $4$ 行和第 $2$ 行也要成比例（只有这样才能保证将第 $3$, $4$ 两行全部消为 $0$）：

$$\begin{array}{rl}\frac{-1-ab}{1}& =\frac{-1-b}{-1}\Rightarrow \frac{-1-ab}{1}=\frac{1+b}{1}\\ \\ \frac{1+a}{1}& =\frac{1}{-1}\Rightarrow \frac{1+a}{1}=\frac{-1}{1}\end{array}$$

于是：

$$\{\begin{array}{l}-1-ab=1+b\\ 1+a=-1\end{array}$$

解得：

$$\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=2\end{array}$$

因此 $ab=-4$

当然，矩阵化简操作还可以这样进行：
$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{lll}{\alpha }_1& {\alpha }_2& {\alpha }_3\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& 1& a\\ -1& b& -1\\ 1& a& 1\end{array}\right)\\ \\ & \to \left(\begin{array}{ccc}1& 1& a\\ 0& 1-a& 1-a^2\\ 0& b+1& a-1\\ 0& a-1& 1-a\end{array}\right)\\ \\ & \to \left(\begin{array}{ccc}1& 1& a\\ 0& a-1& 1-a\\ 0& b+1& a-1\\ 0& 0& (1-a)(2+a)\end{array}\right)\\ \\ & \to \left(\begin{array}{ccc}1& 1& a\\ 0& 1& -1\\ 0& b+1& a-1\\ 0& 0& a+2\end{array}\right)\\ \\ & \to \left(\begin{array}{ccc}1& 1& a\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& a+2\\ 0& 0& a+b\end{array}\right)\end{array}$

之后可知：$\{\begin{array}{l}a+2=0\\ a+b=0\end{array}\Rightarrow$

$\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=2\end{array}\Rightarrow$

$ab=-4$

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