2024年考研数二第15题解析：定积分的物理应用

一、题目

难度评级：

二、解析

物体在 $3$ 个单位时间内走过的距离为：

$${\int }_0^3(t+k\sin \pi t)\mathrm{d}t$$

因此，该物体在 $3$ 个单位时间内的平均速度可以表示为：

$$\frac{{\int }_0^3(t+k\sin \pi t)\mathrm{d}t}{3}=\frac{5}{2}$$

即：

$${\int }_0^3(t+k\sin \pi t)\mathrm{d}t=\frac{15}{2}$$

于是：

$$\begin{array}{r}{\int }_0^3(t+k\sin \pi t)\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{2}{t}^2-{\frac{k}{\pi }\cos \pi t|}_0^3\\ & =\frac{9}{2}+\frac{2k}{\pi }=\frac{15}{2}\end{array}$$

接着，由 $\frac{9}{2}+\frac{2k}{\pi }$ $=$ $\frac{15}{2}$ 可得：

$$k=\frac{3}{2}\pi$$

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