怎么判断是否需要交换二重积分得积分次序？

一、题目

$$I={\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_{x^2}^1\frac{xy}{\sqrt{1+y^3}}\mathrm{d}y=?$$

难度评级：

二、解析

首先，我们会发现，不交换积分次序十分不好算：

$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_{x^2}^1\frac{xy}{\sqrt{1+y^3}}\mathrm{d}y\\ \\ & ={\int }_0^{1}x\mathrm{d}x{\int }_{x^2}^1\frac{y}{\sqrt{1+y^3}}\mathrm{d}y\end{array}$$

于是，我们只能尝试交换积分次序。

要交换积分次序，首先要绘制出原式得积分区域，如图 01 所示：

接着：

$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_0^1\mathrm{d}y{\int }_0^{\sqrt{y}}\frac{xy}{\sqrt{1+y^3}}\mathrm{d}x\\ \\ & ={\int }_0^1\frac{y}{\sqrt{1+y^3}}\mathrm{d}y{\int }_0^{\sqrt{y}}x\mathrm{d}x\\ \\ & ={{\int }_0^1\frac{y}{\sqrt{1+y^3}}\cdot \frac{1}{2}{x}^2|}_0^{\sqrt{y}}\mathrm{d}y\\ \\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^1\frac{y}{\sqrt{1+y^3}}\cdot y\mathrm{d}y=\\ \\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^1\frac{y^2}{\sqrt{1+y^3}}\mathrm{d}y\\ \\ & =\frac{1}{6}{\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{1+y^3}}\mathrm{d}\left(y^3\right)\end{array}$$

令 $t=y^3$, 则：

$$t\in (0,1)$$

于是：

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{1}{6}{\int }_0^1(1+t{)}^{\frac{-1}{2}}\mathrm{d}t\\ \\ & ={\frac{1}{6}\cdot 2\cdot (1+t{)}^{\frac{1}{2}}|}_0^1\\ \\ & =\frac{2}{6}(\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{2}-1}{3}\end{array}$$

注意：
$$(\sqrt{1+t}{)}_t^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+t}}$$

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