二次型的规范型不仅反映了二次型矩阵特征值的正负，还反映了二次型矩阵的秩

一、题目

已知二次型 $f(x_1,x_2,x_3)$ $=$ $(x_1+x_2{)}^2$ $+$ $(x_1–2x_3{)}^2$ $+$ $(x_2+a{x}_3{)}^2$ 的规范型为 $y_1^2+y_2^2$, 则 $a=?$

难度评级：

二、解析

首先：

$$\begin{array}{r}f\\ & =(x_1+x_2{)}^2+(x_1–2x_3{)}^2+(x_2+a{x}_3{)}^2\\ & =x_1^2+x_2^2+2x_1{x}_2+x_1^2+4x_3^2–4x_1{x}_3+x_2^2+a^2{x}_3^2+2a{x}_2{x}_3\\ & =2x_1^2+2x_2^2+(4+a^2)x_3^2+2x_1{x}_2–4x_1{x}_3+2a{x}_2{x}_3\end{array}$$

于是可知，二次型 $f$ 对应的系数矩阵为：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& -2\\ 1& 2& a\\ -2& a& 4+a^2\end{array}\right]$$

接下来，根据对题目条件的不同挖掘和利用方式，我们有如下两种解法：

方法一：求系数矩阵的特征值

$$|\lambda E–A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -2& -1& 2\\ -1& \lambda –2& -a\\ 2& -a& \lambda –4–a^2\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$(\lambda –2{)}^2(\lambda –4–a^2)+4a–4(\lambda –2)–(\lambda –4–a^2)–a^2(\lambda –2)=0$$

做到上面这一步，大家应该都发现了，该方法虽然能解本题，但是计算过程过于复杂，因此，本题应该还有其他计算量稍微少一些的求解方法。

方法二：利用系数矩阵的秩

由二次型 $f$ 的规范型为 $y_1^2+y_2^2$ 可知，二次型矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& -2\\ 1& 2& a\\ -2& a& 4+a^2\end{array}\right]$ 应该有两个为正数的特征值，还有一个为零的特征值，也就是说，系数矩阵 $A$ 是一个不满秩的矩阵，因此：

$$|A|=0$$

即：

$$\left|\begin{array}{ccc}2& 1& -2\\ 1& 2& a\\ -2& a& 4+a^2\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$4(4+a^2)–4a–8–(4+a^2)–2a^2=0\Rightarrow$$

$$4+a^2–4a=0\Rightarrow$$

$$(a–2{)}^2=0\Rightarrow$$

$$a=2$$

综上可知，$a=2$.

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