不对称的矩阵不是正定矩阵，主对角线上有负数或者零元素的矩阵也不是正定矩阵

一、题目

下列矩阵中为正定矩阵的是哪一个？

难度评级：

二、解析

A 选项中的矩阵不是关于主对角线对称的矩阵，因此一定不是正定矩阵。

B 选项中的矩阵主对角线上存在负数元素 $a_{33} = -6$, 因此一定不是正定矩阵。

D 选项中的矩阵主对角线上存在零元素 $a_{22} = 0$, 因此一定不是正定矩阵

C 选项中的元素都关于主对角线对称，且主对角线上不存在为负数或者零的元素，因此，我们只能通过计算其顺序主子式的方式判断该矩阵是否是正定矩阵：

$$
\begin{aligned}
|8| > & \ 0 \\
\left|\begin{array}{ll}8 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right| = & \ 8-1=7>0 \\
\left|\begin{array}{ccc}8 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 5\end{array}\right| = & \ 40-2-2-4-5-8=19>0
\end{aligned}
$$

综上可知，只有 C 选项中的矩阵是正定矩阵。

注意：
只有当主对角线上的元素为负数或者 $0$ 的时候才可以说该矩阵一定不是正定矩阵，如果一个矩阵中为负数或者零的元素不在主对角线上，则不能根据此性质直接判断该矩阵为非正定矩阵。

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