洛必达与反向洛必达运算

一、前言

大家在工科数学课程或者考研数学课程中都经常会用到“洛必达运算”，也就是对分式的分子和分母同时进行求导的一种运算。

其实，除了洛必达运算，还有与之对应的“同胞兄弟”：反向洛必达运算。

难度评级：

二、正文

在做题或者考试的时候，适当的使用洛必达运算或者反向洛必达运算对解题十分有利。总的来说，这两种运算的有效性基于如下定理：

两个无穷小量或者无穷大量同时进行等价积分或求导运算之后，其比值保持不变。

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什么是“等价积分”：

我们知道，积分 $\int x\mathrm{d}x$ $=$ $\frac{1}{x^2}+C$.
但是，当 $x\to 0$ 时，必然有 $\int x\mathrm{d}x$ $=$ $0$, 因此，在等价积分中，必须有 $C=0$, 因为只有这样，才有 $\underset{x\to 0}{lim}(\frac{1}{x^2}+C)$ $=$ $0$.

同理，在等价积分中，当 $x\to 0$ 时：$\int \sin x\mathrm{d}x$ $=$ $1–\cos x$

三、示例

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\int x\mathrm{d}x}{\int \sin x\mathrm{d}x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{2}{x}^2}{1–\cos x}=1$$

$$\mathbf{\upuparrows }$$

$$\underset{\mathit{x}\mathbf{\to }\mathbf{0}}{\mathbf{lim}}\frac{\mathit{x}}{\mathbf{sin}\mathbf{}\mathit{x}}\mathbf{=}\mathbf{1}$$

$$\mathbf{\downdownarrows }$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{(x{)}^{\prime }}{(\sin x{)}^{\prime }}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}=1$$

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