凑微分的特征：被积函数中的两部分是导数和原函数的关系

一、前言

在被积函数中，如果我们能找到两部分式子 “$◻$” 和 “$\mathrm{△}$” 是导数和原函数的关系，例如：

$$(◻{)}^{\prime }=\mathrm{△}$$

则可凑微分为：

$$\int ◻\cdot \mathrm{△}\mathrm{d}x=\int ◻\mathrm{d}(◻)$$

在本文中，荒原之梦考研数学网将通过几个例题演示上面的凑微分方法。

题目 01

$$I=\int (1+\frac{1}{x^2})\tan (x-\frac{1}{x})\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

解析 01

由于：

$${(x-\frac{1}{x})}^{\prime }=1+\frac{1}{x^2}$$

因此：

$$\begin{array}{rl}I& =\int (1+\frac{1}{x^2})\tan (x-\frac{1}{x})\mathrm{d}x\\ \\ & =\int \tan (x-\frac{1}{x})\mathrm{d}(x-\frac{1}{x})\Rightarrow t=x-\frac{1}{x}\Rightarrow \\ \\ & =\int \tan t\mathrm{d}t\Rightarrow (\ln \cos t{)}^{\prime }=\frac{-\sin t}{\cos t}=-\tan t\Rightarrow \\ \\ & =\int \tan t\mathrm{d}t=-\ln \cos t+C\\ \\ & =-\ln |\cos (x-\frac{1}{x})|+C\end{array}$$

题目 02

$$I=\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

解析 02

由于：

$${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=\frac{-1}{x^2}$$

因此：

$$I=-\int \mathrm{d}\left(e^{\frac{1}{x}}\right)=-e^{\frac{1}{x}}+C$$

或者：

$$I=-\int e^{\frac{1}{x}}\mathrm{d}\left(\frac{1}{x}\right)=-e^{\frac{1}{x}}+C$$

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