幂函数凑微分的标志：次幂相差 1

一、前言

在本文中，荒原之梦考研数学网将给出几道涉及幂函数凑微分的题目及解析——

对于这类题目，判断能否尝试凑微分的一个关键“标志性信号”就是观察被积函数中是否存在次幂相差 $1$ 的部分。

题目 01

$$
I = \int x \cdot 2^{x^{2}} \mathrm{~d} x = ?
$$

难度评级：

解析 01

在本题中，由于被积函数中含有次幂为 $1$ 的 “$\textcolor{orangered}{x}$” 和次幂为 $2$ 的 “$\textcolor{orangered}{x^{2}}$”, 二者次幂相差为 $1$, 因此可以直接尝试凑微分：

$$
\begin{aligned}
I & = \int \textcolor{orangered}{x} \cdot 2^{ \textcolor{orangered}{x^{2}} } \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int 2^{x^{2}} \mathrm{~d} \left(x^{2}\right) \Rightarrow \textcolor{springgreen}{t=x^{2}} \Rightarrow \\
& = \frac{1}{2} \int 2^{t} \mathrm{~d} t \Rightarrow \textcolor{springgreen}{\left(2^{t}\right)^{\prime} = \ln 2 \cdot 2^{t} } \Rightarrow \\
& = \frac{1}{2} \int 2^{t} \mathrm{~d} t \\
& = \frac{1}{2 \ln 2} 2^{t} + C \\
& = \textcolor{violet}{ \frac{2^{x^{2}}}{2 \ln 2}+C }
\end{aligned}
$$

题目 02

$$
I = \int \textcolor{orangered}{x^{2}} \sqrt{2 + \textcolor{orangered}{x^{3}}} \mathrm{~d} x = ?
$$

难度评级：

解析 02

在本题中，由于被积函数中含有次幂为 $2$ 的 “$\textcolor{orangered}{x^{2}}$” 和次幂为 $3$ 的 “$\textcolor{orangered}{x^{3}}$”, 二者次幂相差为 $1$, 因此可以直接尝试凑微分：

$$
\begin{aligned}
I & = \int \textcolor{orangered}{x^{2}} \sqrt{2 + \textcolor{orangered}{x^{3}} } \mathrm{~d} x \\
& = \frac{1}{3} \int \sqrt{2+x^{3}} \mathrm{~d} \left(x^{3}\right) \Rightarrow \textcolor{springgreen}{t=x^{3}} \Rightarrow \\
& = \frac{1}{3} \int \sqrt{2+t} \mathrm{~d} t \\
& = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}(2+t)^{\frac{3}{2}}+C \\
& = \textcolor{violet}{ \frac{2}{9}\left(2+x^{3}\right)^{\frac{3}{2}}+C }
\end{aligned}
$$

题目 03

$$
I = \int \frac{x}{4+x^{4}} \mathrm{~d} x = ?
$$

难度评级：

解析 03

在本题中，虽然被积函数中含有次幂为 $1$ 的 “$\textcolor{orangered}{x}$” 和次幂为 $4$ 的 “$\textcolor{orangered}{x^{4}}$”, 二者次幂相差为 $3$, 但只要我们将 $x^{4}$ 变成 $(x^{2})^{2}$, 则即可构造出次幂为 $1$ 的凑微分解题环境：

$$
\begin{aligned}
I & = \int \frac{x}{4+x^{4}} \mathrm{~d} x \\
& = \int \frac{\textcolor{orangered}{x}}{2^{2}+\left( \textcolor{orangered}{x^{2}} \right)^{2}} \mathrm{~d} x \\
& = \frac{1}{2} \int \frac{1}{2^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} \left(x^{2}\right) \Rightarrow \textcolor{springgreen}{t=x^{2}} \Rightarrow \\
& = \frac{1}{2} \int \frac{1}{2^{2}+t^{2}} \mathrm{~d} t \\
& = \frac{1}{2} \int \frac{1}{2^{2}\left[1+\left(\frac{t}{2}\right)^{2}\right]} \mathrm{~d} t \\
& = 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \int \frac{1}{1+\left(\frac{t}{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} \left(\frac{t}{2}\right) \\
& = \frac{1}{4} \arctan \left(\frac{t}{2}\right) + C \\
& = \textcolor{violet}{\frac{1}{4} \arctan \left(\frac{x^{2}}{2}\right)+C }
\end{aligned}
$$

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