幂函数凑微分的标志：次幂相差 1

一、前言

在本文中，荒原之梦考研数学网将给出几道涉及幂函数凑微分的题目及解析——

对于这类题目，判断能否尝试凑微分的一个关键“标志性信号”就是观察被积函数中是否存在次幂相差 $1$ 的部分。

题目 01

$$I=\int x\cdot 2^{x^2}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

解析 01

在本题中，由于被积函数中含有次幂为 $1$ 的 “$x$” 和次幂为 $2$ 的 “$x^2$”, 二者次幂相差为 $1$, 因此可以直接尝试凑微分：

$$\begin{array}{rl}I& =\int x\cdot 2^{x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int 2^{x^2}\mathrm{d}\left(x^2\right)\Rightarrow t=x^2\Rightarrow \\ & =\frac{1}{2}\int 2^t\mathrm{d}t\Rightarrow {\left(2^t\right)}^{\prime }=\ln 2\cdot 2^t\Rightarrow \\ & =\frac{1}{2}\int 2^t\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{2\ln 2}{2}^t+C\\ & =\frac{2^{x^2}}{2\ln 2}+C\end{array}$$

题目 02

$$I=\int x^2\sqrt{2+x^3}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

解析 02

在本题中，由于被积函数中含有次幂为 $2$ 的 “$x^2$” 和次幂为 $3$ 的 “$x^3$”, 二者次幂相差为 $1$, 因此可以直接尝试凑微分：

$$\begin{array}{rl}I& =\int x^2\sqrt{2+x^3}\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{3}\int \sqrt{2+x^3}\mathrm{d}\left(x^3\right)\Rightarrow t=x^3\Rightarrow \\ & =\frac{1}{3}\int \sqrt{2+t}\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}(2+t{)}^{\frac{3}{2}}+C\\ & =\frac{2}{9}{(2+x^3)}^{\frac{3}{2}}+C\end{array}$$

题目 03

$$I=\int \frac{x}{4+x^4}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

解析 03

在本题中，虽然被积函数中含有次幂为 $1$ 的 “$x$” 和次幂为 $4$ 的 “$x^4$”, 二者次幂相差为 $3$, 但只要我们将 $x^4$ 变成 $(x^2{)}^2$, 则即可构造出次幂为 $1$ 的凑微分解题环境：

$$\begin{array}{rl}I& =\int \frac{x}{4+x^4}\mathrm{d}x\\ & =\int \frac{x}{2^2+{\left(x^2\right)}^2}\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{2}\int \frac{1}{2^2+{\left(x^2\right)}^2}\mathrm{d}\left(x^2\right)\Rightarrow t=x^2\Rightarrow \\ & =\frac{1}{2}\int \frac{1}{2^2+t^2}\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{2}\int \frac{1}{2^2[1+{\left(\frac{t}{2}\right)}^2]}\mathrm{d}t\\ & =2\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{4}\int \frac{1}{1+{\left(\frac{t}{2}\right)}^2}\mathrm{d}\left(\frac{t}{2}\right)\\ & =\frac{1}{4}\arctan \left(\frac{t}{2}\right)+C\\ & =\frac{1}{4}\arctan \left(\frac{x^2}{2}\right)+C\end{array}$$

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