2023年考研数二第12题解析：曲线弧长计算、凑微分、挖掘隐含条件

一、题目

曲线 $y=\int_{-\sqrt{3}}^{x} \sqrt{3-t^{2}} \mathrm{~d} t$ 的弧长为多少？

难度评级：

二、解析

根据曲线弧长公式：

$$
l = \int_{a}^{b} \sqrt{1+ y^{\prime 2}} \mathrm{~d} x
$$

又：

$$
y^{\prime}=\sqrt{3-x^{2}} \Rightarrow y^{\prime 2}=3-x^{2} \Rightarrow
$$

且分析可知，被积这数自带取值区间，是一个圆心位于 $(0, 0)$ 点处，半径为 $r$ 的圆的上半圆：

$$
y=\sqrt{3-t^{2}} \Rightarrow y^{2}+t^{2}=3 \Rightarrow r=\sqrt{3}
$$

于是：

$$
l=\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \sqrt{4-x^{2}} \mathrm{~ d} x =
$$

$$
2 \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^{2}} \mathrm{~ d} x=
$$

$$
4 \int_{0}^{\sqrt{3}} \sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^{2}} \mathrm{~ d} x=
$$

$$
8 \int_{0}^{\sqrt{3}} \sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^{2}} \mathrm{~ d} \left(\frac{x}{2}\right)=
$$

$$
8 \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

三角代换：

$$
x=\sin t \Rightarrow t \in\left(0, \frac{\pi}{3}\right) \Rightarrow
$$

$$
8 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos ^{2} t \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

三角函数降幂：

$$
\cos 2 \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1 \Rightarrow
$$

$$
\cos ^{2} \alpha=\frac{1}{2}(1+\cos 2 \alpha) \Rightarrow
$$

$$
4 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}(1+\cos 2 t) \mathrm{~ d} t=
$$

$$
2 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}(1+\cos 2 t) \mathrm{~ d} (2 t)=
$$

$$
2 \int_{0}^{\frac{2 \pi}{3}}(1+\cos t) \mathrm{~ d} t=
$$

$$
2\left[\frac{2 \pi}{3} + \sin t \Big|_{0} ^{\frac{2 \pi}{3}}\right]=
$$

$$
2\left[\frac{2 \pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}-0\right] = \frac{4 \pi}{3} + \sqrt{3}
$$

---