2023年考研数二第12题解析：曲线弧长计算、凑微分、挖掘隐含条件

一、题目

曲线 $y={\int }_{-\sqrt{3}}^x\sqrt{3-t^2}\mathrm{d}t$ 的弧长为多少？

难度评级：

二、解析

根据曲线弧长公式：

$$l={\int }_a^b\sqrt{1+y^{\prime 2}}\mathrm{d}x$$

又：

$$y^{\prime }=\sqrt{3-x^2}\Rightarrow y^{\prime 2}=3-x^2\Rightarrow$$

且分析可知，被积这数自带取值区间，是一个圆心位于 $(0,0)$ 点处，半径为 $r$ 的圆的上半圆：

$$y=\sqrt{3-t^2}\Rightarrow y^2+t^2=3\Rightarrow r=\sqrt{3}$$

于是：

$$l={\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\sqrt{4-x^2}\mathrm{d}x=$$

$$2{\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\sqrt{1-{\left(\frac{x}{2}\right)}^2}\mathrm{d}x=$$

$$4{\int }_0^{\sqrt{3}}\sqrt{1-{\left(\frac{x}{2}\right)}^2}\mathrm{d}x=$$

$$8{\int }_0^{\sqrt{3}}\sqrt{1-{\left(\frac{x}{2}\right)}^2}\mathrm{d}\left(\frac{x}{2}\right)=$$

$$8{\int }_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

三角代换：

$$x=\sin t\Rightarrow t\in (0,\frac{\pi }{3})\Rightarrow$$

$$8{\int }_0^{\frac{\pi }{3}}{\cos }^{2}t\mathrm{d}t\Rightarrow$$

三角函数降幂：

$$\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1\Rightarrow$$

$${\cos }^2\alpha =\frac{1}{2}(1+\cos 2\alpha )\Rightarrow$$

$$4{\int }_0^{\frac{\pi }{3}}(1+\cos 2t)\mathrm{d}t=$$

$$2{\int }_0^{\frac{\pi }{3}}(1+\cos 2t)\mathrm{d}(2t)=$$

$$2{\int }_0^{\frac{2\pi }{3}}(1+\cos t)\mathrm{d}t=$$

$$2[\frac{2\pi }{3}+\sin t{|}_0^{\frac{2\pi }{3}}]=$$

$$2[\frac{2\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}-0]=\frac{4\pi }{3}+\sqrt{3}$$

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