看上去像可分离变量的微分方程但“分不开”的时候，很可能就是齐次微分方程

一、题目

方程 $(y+\sqrt{x^2+y^2})\mathrm{d}x-x\mathrm{d}y=0$ 满足条件 $y(1)=0$ 的特解为

难度评级：

二、解析

本题看上去像是直接可分离变量的微分方程，但是，尝试之后发现，根本没法直接进行变量分离。

对于这种像是可分离变量但没法直接分离变量的微分方程，我们可以先尝试将其转为齐次微分方程的形式，即构建出 $\frac{y}{x}$.

由于齐次微分方程其实就是隐藏着的可分离变量微分方程，因此，当我们用 $u=\frac{y}{x}$ 对原式做代换之后，就可以发现能进行变量分离了。

$$(y+\sqrt{x^2+y^2})\mathrm{d}x-x\mathrm{d}y=0\Rightarrow$$

除以 $x$, 转为可分离变量的形式：

$$(\frac{y}{x}+\frac{1}{x}\sqrt{x^2+y^2})\mathrm{d}x=\mathrm{d}y\Rightarrow$$

$$(\frac{y}{x}+\frac{1}{x}\sqrt{x^2+y^2})=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\Rightarrow x>0\Rightarrow$$

$$\frac{y}{x}+\frac{1}{x}\cdot x\sqrt{1+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\Rightarrow$$

令 $u=\frac{y}{x},y=ux$, 则：

$$y^{\prime }=u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\Rightarrow$$

$$u+\sqrt{1+u^2}=u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\Rightarrow$$

$$\sqrt{1+u^2}=x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\Rightarrow$$

可分离变量：

$$\frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{1+u^2}}=\frac{\mathrm{d}x}{x}\Rightarrow$$

$$\ln (u+\sqrt{1+u^2})=\ln x+\ln C\Rightarrow$$

$$u+\sqrt{1+u^2}=Cx\Rightarrow$$

还原代换：

$$u=\frac{y}{x}\Rightarrow$$

$$\frac{y}{x}+\sqrt{1+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}=Cx\Rightarrow$$

$$y(1)=0\Rightarrow$$

能化简的先化简：

$$0+1=C\Rightarrow C=1\Rightarrow$$

$$\frac{y}{x}+\sqrt{1+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}=x\Rightarrow$$

$$1+\frac{y^2}{x^2}={(x-\frac{y}{x})}^2\Rightarrow$$

$$1+\frac{y^2}{x^2}=x^2+\frac{y^2}{x^2}-2y\Rightarrow$$

$$y=\frac{1}{2}(x^2-1)$$

验证可知，$x<0$ 时的结果与 $x>0$ 时一致。

因此，当 $y(1)=0$ 时：

$$y=\frac{1}{2}(x^2-1)$$

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