看上去像可分离变量的微分方程但“分不开”的时候，很可能就是齐次微分方程

一、题目

方程 $\left(y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x-x \mathrm{~d} y=0$ 满足条件 $y(1)=0$ 的特解为

难度评级：

二、解析

本题看上去像是直接可分离变量的微分方程，但是，尝试之后发现，根本没法直接进行变量分离。

对于这种像是可分离变量但没法直接分离变量的微分方程，我们可以先尝试将其转为齐次微分方程的形式，即构建出 $\frac{y}{x}$.

由于齐次微分方程其实就是隐藏着的可分离变量微分方程，因此，当我们用 $u = \frac{y}{x}$ 对原式做代换之后，就可以发现能进行变量分离了。

$$
\left(y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{~ d} x-x \mathrm{~ d} y=0 \Rightarrow
$$

除以 $x$, 转为可分离变量的形式：

$$
\left(\frac{y}{x}+\frac{1}{x} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{~ d} x=\mathrm{~ d} y \Rightarrow
$$

$$
\left(\frac{y}{x}+\frac{1}{x} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)=\frac{\mathrm{~ d} y}{\mathrm{~ d} x} \Rightarrow x>0 \Rightarrow
$$

$$
\frac{y}{x}+\frac{1}{x} \cdot x \sqrt{1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}}=\frac{\mathrm{~ d} y}{\mathrm{~ d} x} \Rightarrow
$$

令 $u=\frac{y}{x}, \ y=u x$, 则：

$$
y^{\prime}=u+x \frac{\mathrm{~ d} u}{\mathrm{~ d} x} \Rightarrow
$$

$$
u+\sqrt{1+u^{2}}=u+x \frac{\mathrm{~ d} u}{\mathrm{~ d} x} \Rightarrow
$$

$$
\sqrt{1+u^{2}}=x \frac{\mathrm{~ d} u}{\mathrm{~ d} x} \Rightarrow
$$

可分离变量：

$$
\frac{\mathrm{~ d} u}{\sqrt{1+u^{2}}}=\frac{\mathrm{~ d} x}{x} \Rightarrow
$$

$$
\ln \left(u+\sqrt{1+u^{2}}\right)=\ln x+\ln C \Rightarrow
$$

$$
u+\sqrt{1+u^{2}}=C x \Rightarrow
$$

还原代换：

$$
u=\frac{y}{x} \Rightarrow
$$

$$
\frac{y}{x}+\sqrt{1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}}=C x \Rightarrow
$$

$$
y(1)=0 \Rightarrow
$$

能化简的先化简：

$$
0+1=C \Rightarrow C=1 \Rightarrow
$$

$$
\frac{y}{x}+\sqrt{1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}}=x \Rightarrow
$$

$$
1+\frac{y^{2}}{x^{2}}=\left(x-\frac{y}{x}\right)^{2} \Rightarrow
$$

$$
1+\frac{y^{2}}{x^{2}}=x^{2}+\frac{y^{2}}{x^{2}}-2 y \Rightarrow
$$

$$
y=\frac{1}{2}\left(x^{2}-1\right)
$$

验证可知，$x<0$ 时的结果与 $x>0$ 时一致。

因此，当 $y(1)=0$ 时：

$$
y=\frac{1}{2}\left(x^{2}-1\right)
$$

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