解题思路：把要求解的式子的形式往已知的形式上凑

一、题目

若 $a>0,f(x)$ 在 $[0,a]$ 上连续, 并且当 $0⩽x⩽\frac{a}{2}$ 时 $f(x)+f(a-x)=0$, 则 ${\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x$

(A) $>0$

(B) $<0$

(C) $=0$

(D) 不能确定符号

难度评级：

二、解析

已知：

$${\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{a}{2}}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_{\frac{a}{2}}^{a}f(x)\mathrm{d}x$$

又：

$${\int }_{\frac{a}{2}}^{a}f(x)\mathrm{d}x\Rightarrow t=a-x\Rightarrow x=a-t\Rightarrow$$

$$x\in (\frac{a}{2},a)\Rightarrow t\in (\frac{a}{2},0),\mathrm{d}x=-\mathrm{d}t$$

则：

$${\int }_{\frac{a}{2}}^{a}f(x)\mathrm{d}x=-{\int }_{\frac{a}{2}}^{0}f(a-t)\mathrm{d}t={\int }_0^{\frac{a}{2}}f(a-t)\mathrm{d}t$$

于是：

$${\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{a}{2}}[f(x)+f(a-x)]\mathrm{d}x=0$$

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