无论方阵还是非方阵：秩为 2 就说明所有三阶子式的值全为零

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 3 & 2 & a \\ 2 & 7 & a & 3 \\ 0 & a & 5 & -5\end{array}\right]$, 若 $r(\boldsymbol{A})=2$, 则 $a=?$

难度评级：

二、解析

方法一：所有三阶子式全为零

$$
\left|\begin{array}{lll}1 & 3 & 2 \\ 2 & 7 & a \\ 0 & a & 5\end{array}\right|=35+4 a-30-a^{2}=0 \Rightarrow
$$

$$
a^{2}-4 a-5=0 \Rightarrow
$$

$$
a=\frac{4 \pm \sqrt{16+20}}{2} \Rightarrow
$$

$$
a_{1}=5, a_{2}=-1
$$

又：

$$
\left|\begin{array}{ccc}3 & 2 & a \\ 7 & a & 3 \\ a & 5 & -5\end{array}\right| \Rightarrow a = 5 \Rightarrow \left|\begin{array}{ccc}3 & 2 & 5 \\ 7 & 5 & 3 \\ 5 & 5 & -5\end{array}\right| \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{lll}3 & 2 & 5 \\ 7 & 5 & 3 \\ 8 & 7 & 0\end{array}\right| \Rightarrow \left|\begin{array}{ccc}0 & -3 & 5 \\ 9 & 2 & 3 \\ 15 & 7 & 0\end{array}\right|=30 \neq 0
$$

于是排除 $a = 5$, 只能有 $a = -1$.

方法二：化为行阶梯

$$
\left[\begin{array}{cccc}1 & 3 & 2 & a \\ 2 & 7 & a & 3 \\ 0 & a & 5 & -5\end{array}\right] \Rightarrow\left[\begin{array}{cccc}1 & 3 & 2 & a \\ 0 & 1 & a-4 & 3-2 a \\ 0 & a & 5 & -5\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{a}=\frac{a-4}{5}=\frac{3-2 a}{-5} \Rightarrow a=-1
$$

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