无论方阵还是非方阵：秩为 2 就说明所有三阶子式的值全为零

一、题目

已知 $A = [\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 2 & a \\ 2 & 7 & a & 3 \\ 0 & a & 5 & - 5 \end{array}]$ , 若 $r (A) = 2$ , 则 $a = ?$

难度评级：

二、解析

方法一：所有三阶子式全为零

$| \begin{array}{lll} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 7 & a \\ 0 & a & 5 \end{array} | = 35 + 4 a - 30 - a^{2} = 0 \Rightarrow$

$a^{2} - 4 a - 5 = 0 \Rightarrow$

$a = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} \Rightarrow$

$a_{1} = 5, a_{2} = - 1$

又：

$| \begin{array}{ccc} 3 & 2 & a \\ 7 & a & 3 \\ a & 5 & - 5 \end{array} | \Rightarrow a = 5 \Rightarrow | \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 5 \\ 7 & 5 & 3 \\ 5 & 5 & - 5 \end{array} | \Rightarrow$

$| \begin{array}{lll} 3 & 2 & 5 \\ 7 & 5 & 3 \\ 8 & 7 & 0 \end{array} | \Rightarrow | \begin{array}{ccc} 0 & - 3 & 5 \\ 9 & 2 & 3 \\ 15 & 7 & 0 \end{array} | = 30 \neq 0$

于是排除 $a = 5$ , 只能有 $a = - 1$ .

方法二：化为行阶梯

$[\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 2 & a \\ 2 & 7 & a & 3 \\ 0 & a & 5 & - 5 \end{array}] \Rightarrow [\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 2 & a \\ 0 & 1 & a - 4 & 3 - 2 a \\ 0 & a & 5 & - 5 \end{array}] \Rightarrow$

$\frac{1}{a} = \frac{a - 4}{5} = \frac{3 - 2 a}{- 5} \Rightarrow a = - 1$

无论方阵还是非方阵：秩为 2 就说明所有三阶子式的值全为零

一、题目

二、解析

方法一：所有三阶子式全为零

方法二：化为行阶梯

高等数学

线性代数

特别专题

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