相似的矩阵秩一定相等

一、题目

已知三阶矩阵 $\mathit{A}$ 的特征值为 $1,2,-1$, 若 $\mathit{A}\sim \mathit{B}$, 则下列矩阵中可逆矩阵是哪个？

(A) $\mathit{B}-\mathit{E}$

(B) $\mathit{B}+\mathit{E}$

(C) $\mathit{B}-2\mathit{E}$

(D) $\mathit{B}+2\mathit{E}$

难度评级：

二、解析

当 $\lambda =1$ 时，矩阵 $B–E$ 存在等于零的特征值，因此 $|B–E|=0$;

当 $\lambda =-1$ 时，矩阵 $B+E$ 存在等于零的特征值，因此 $|B+E|=0$;

当 $\lambda =2$ 时，矩阵 $B–2E$ 存在等于零的特征值，因此 $|B–2E|=0$;

于是可知，矩阵 $B–E$, $B+E$, $B–2E$ 都不可逆。

综上可知，本题正确选项为 D.

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