相似的矩阵秩一定相等

一、题目

已知三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $1,2,-1$, 若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$, 则下列矩阵中可逆矩阵是哪个？

(A) $\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E}$

(B) $\boldsymbol{B}+\boldsymbol{E}$

(C) $\boldsymbol{B}-2 \boldsymbol{E}$

(D) $\boldsymbol{B}+2 \boldsymbol{E}$

难度评级：

二、解析

当 $\lambda = 1$ 时，矩阵 $B – E$ 存在等于零的特征值，因此 $|B – E| = 0$;

当 $\lambda = -1$ 时，矩阵 $B + E$ 存在等于零的特征值，因此 $|B + E| = 0$;

当 $\lambda = 2$ 时，矩阵 $B – 2E$ 存在等于零的特征值，因此 $|B – 2E| = 0$;

于是可知，矩阵 $B – E$, $B + E$, $B – 2E$ 都不可逆。

综上可知，本题正确选项为 D.

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