在选择题中如何寻找特征向量：只要前两项没有公倍数就不用往后算了

一、题目

矩阵 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{ccc}3& -4& -4\\ 0& 2& 0\\ 2& -2& -3\end{array}\right]$ 有一个特征向量是：

(A) $(1,0,-1{)}^{\mathrm{\top }}$

(B) $(3,3,-6{)}^{\mathrm{\top }}$

(C) $(4,-1,2{)}^{\mathrm{\top }}$

(D) $(1,1,-2{)}^{\mathrm{\top }}$

难度评级：

二、解析

当 $\alpha$ 是特征值的时候，$k\alpha$（$k$ 为任意实数）也是对应矩阵的特征值，因此，如果 B 选项正确，则 D 选项也正确，即 B, D 两选项都不正确。

又根据 $A\alpha =\lambda \alpha$ 可知：

对于 A 选项：

$$\left[\begin{array}{ccc}3& -4& -4\\ 0& 2& 0\\ 2& -2& -3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}7\\ 0\\ 5\end{array}\right]$$

由于 $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right]$ 与 $\left[\begin{array}{c}7\\ 0\\ 5\end{array}\right]$ 不成比例，因此 A 选项错误。

C 选项：

$$\left[\begin{array}{ccc}3& -4& -4\\ 0& 2& 0\\ 2& -2& -3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}4\\ -1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}8\\ -2\\ 4\end{array}\right]$$

由于 $\left[\begin{array}{c}4\\ -1\\ 2\end{array}\right]$ 与 $\left[\begin{array}{c}8\\ -2\\ 4\end{array}\right]$ 成比例，因此 C 选项正确。

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