当系数矩阵不可逆的时候，一定有非零解

一、题目

已知 $\mathit{A}$ 是 $m\times n$ 矩阵，则 $m<n$ 是齐次方程组 ${\mathit{A}}^{\mathrm{\top }}\mathit{A}\mathit{x}=\mathbf{0}$ 有非零解的充要条件吗？

难度评级：

二、解析

由题知：

$$A_{n\times m}^{\mathrm{\top }}\cdot A_{m\times n}={◻}_{n\times n}$$

也就是说，$A^{\mathrm{\top }}A$ 得到的是一个 $n$ 阶矩阵。

又因为：

$$r(A^{\mathrm{\top }}A)=r(A)⩽\min (m,n)$$

于是：

$$r(A^{\mathrm{\top }}A)⩽m<n\Rightarrow r(A^{\mathrm{\top }}A)<n$$

因此，当 $m<n$ 的时候，${\mathit{A}}^{\mathrm{\top }}\mathit{A}\mathit{x}=\mathbf{0}$ 一定有非零解。

但是，如果 $|A^{\mathrm{\top }}A|=0$, 或者当 $A=O$, $m=n$ 时，则 ${\mathit{A}}^{\mathrm{\top }}\mathit{A}\mathit{x}=\mathbf{0}$ 一定有非零解，此时不一定会有 $m<n$.

因此，$m<n$ 是齐次方程组 ${\mathit{A}}^{\mathrm{\top }}\mathit{A}\mathit{x}=\mathbf{0}$ 的充分非必要条件。

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