当系数矩阵不可逆的时候，一定有非零解

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵，则 $m<n$ 是齐次方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解的充要条件吗？

难度评级：

二、解析

由题知：

$$
\textcolor{springgreen}{
A^{\top}_{n \times m} \cdot A_{m \times n} = \square_{n \times n}
}
$$

也就是说，$A^{\top} A$ 得到的是一个 $n$ 阶矩阵。

又因为：

$$
r(A^{\top} A) = r(A) \leqslant \mathrm{min} (m, n)
$$

于是：

$$
r(A^{\top} A) \leqslant m < n \Rightarrow \textcolor{springgreen}{ r(A^{\top} A) < n }
$$

因此，当 $m < n$ 的时候，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 一定有非零解。

但是，如果 $|A^{\top}A| = 0$, 或者当 $A = O$, $m=n$ 时，则 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 一定有非零解，此时不一定会有 $m < n$.

因此，$m<n$ 是齐次方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的充分非必要条件。

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