这样的题目不要直接逐一代入，先挖掘一下题目隐含的条件

一、题目

若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(2,1,1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,-2,-1)^{\mathrm{\top}}$ 都是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解，则系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 应为：

(A) $\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -1\end{array}\right]$

(B) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & -5 \\ -1 & -3 & 5\end{array}\right]$

(C) $\left[\begin{array}{ccc}1 & -4 & 2 \\ 1 & 2 & -1\end{array}\right]$

(D) $\left[\begin{array}{lll}1 & -3 & 1 \\ 2 & -6 & 2\end{array}\right]$

难度评级：

二、解析

由于题目给出了两个解向量，因此，本题隐含的条件就是该方程组有两个自由未知数，对应的系数矩阵的秩应该为 $3-2 = 1$.

接着，由于 A 和 C 选项中矩阵的秩都是 $2$, 可以直接排除。

之后验证发现，在 D 选项中：

$$
\left[\begin{array}{lll}1 & -3 & 1 \\ 2 & -6 & 2\end{array}\right] \alpha_{2} \neq 0
$$

因此，只有 B 选项正确。

进一步验证可知：

$$
\left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & -5 \\ -1 & -3 & 5\end{array}\right] \begin{bmatrix}
\alpha_{1} & \alpha_{2}
\end{bmatrix} = 0
$$

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