这样的题目不要直接逐一代入，先挖掘一下题目隐含的条件

一、题目

若 ${\mathit{\alpha }}_1=(2,1,1{)}^{\mathrm{\top }},{\mathit{\alpha }}_2=(1,-2,-1{)}^{\mathrm{\top }}$ 都是齐次线性方程组 $\mathit{A}\mathit{x}=\mathbf{0}$ 的解，则系数矩阵 $\mathit{A}$ 应为：

(A) $\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& -2& -1\end{array}\right]$

(B) $\left[\begin{array}{ccc}1& 3& -5\\ -1& -3& 5\end{array}\right]$

(C) $\left[\begin{array}{ccc}1& -4& 2\\ 1& 2& -1\end{array}\right]$

(D) $\left[\begin{array}{lll}1& -3& 1\\ 2& -6& 2\end{array}\right]$

难度评级：

二、解析

由于题目给出了两个解向量，因此，本题隐含的条件就是该方程组有两个自由未知数，对应的系数矩阵的秩应该为 $3-2=1$.

接着，由于 A 和 C 选项中矩阵的秩都是 $2$, 可以直接排除。

之后验证发现，在 D 选项中：

$$\left[\begin{array}{lll}1& -3& 1\\ 2& -6& 2\end{array}\right]{\alpha }_2\ne 0$$

因此，只有 B 选项正确。

进一步验证可知：

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 3& -5\\ -1& -3& 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{\alpha }_1& {\alpha }_2\end{array}\right]=0$$

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