如何求解一个齐次线性方程组的基础解系？

一、题目

齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+2 x_{3}-x_{4}=0 \\ x_{1}+x_{2} + \ \ x_{4}=0\end{array}\right.$ 的基础解系是哪个？

(A) $(-2,2,1,0)^{\mathrm{\top}},(1,2,0,1)^{\mathrm{\top}}$

(B) $(-1,0,1,1)^{\mathrm{\top}},(2,0,-2,-2)^{\mathrm{\top}}$

(C) $(-2,2,1,0)^{\mathrm{\top}},(2,2,-3,-4)^{\mathrm{\top}}$

(D) $(1,-2,0,1)^{\mathrm{\top}}$

难度评级：

二、解析

由题可得：

$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 & -1 \\
1 & 1 & 0 & 1
\end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 & -1 \\
0 & 1 & -2 & 2
\end{bmatrix}
$$

即：

$$
r(A) = 2
$$

于是可知，该方程组的基础解系中存在 $4 – 2 = 2$ 个解。

因此，可以排除 D 选项。

接下来，我们将 A, B, C 选项中的向量代入原式或者上面化简之后的矩阵可知，只有 C 选项中的两个向量满足条件，可以构成基础解系。

虽然基础解系并不是唯一的，但是，在自己求解基础解系的时候，一般还是要遵循一些固定的方法：

例如，在本题中，很显然，$x_{1}$ 和 $x_{2}$ 应作为非自由未知数，$x_{3}$ 和 $x_{4}$ 应作为自由未知数：

$$
\begin{bmatrix}
\textcolor{orangered}{x_{1}} & \textcolor{orangered}{x_{2}} & \textcolor{springgreen}{x_{3}} & \textcolor{springgreen}{x_{4}} \\
1 & 0 & 2 & -1 \\
0 & 1 & -2 & 2
\end{bmatrix}
$$

一般情况下，我们零自由未知数分别为：

$$
\begin{array}{l}
(x_{3}, x_{4})^{\top} = (1, 0)^{\top} \\ \\
(x_{3}, x_{4})^{\top} = (0, 1)^{\top}
\end{array}
$$

由此可得，非自由未知数分别为：

$$
\begin{array}{l}
(x_{1}, x_{2})^{\top} = (-2, 0)^{\top} \\ \\
(x_{1}, x_{2})^{\top} = (0, -2)^{\top}
\end{array}
$$

于是可得基础解系为：

$$
\begin{array}{l}
(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})^{\top} = (-2, 0, 1, 0)^{\top} \\ \\
(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})^{\top} = (0, -2, 0, 1)^{\top}
\end{array}
$$

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