如何求解一个齐次线性方程组的基础解系？

一、题目

齐次线性方程组 $\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_3-x_4=0\\ x_1+x_2+x_4=0\end{array}$ 的基础解系是哪个？

(A) $(-2,2,1,0{)}^{\mathrm{\top }},(1,2,0,1{)}^{\mathrm{\top }}$

(B) $(-1,0,1,1{)}^{\mathrm{\top }},(2,0,-2,-2{)}^{\mathrm{\top }}$

(C) $(-2,2,1,0{)}^{\mathrm{\top }},(2,2,-3,-4{)}^{\mathrm{\top }}$

(D) $(1,-2,0,1{)}^{\mathrm{\top }}$

难度评级：

二、解析

由题可得：

$$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 2& -1\\ 1& 1& 0& 1\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{cccc}1& 0& 2& -1\\ 0& 1& -2& 2\end{array}\right]$$

即：

$$r(A)=2$$

于是可知，该方程组的基础解系中存在 $4–2=2$ 个解。

因此，可以排除 D 选项。

接下来，我们将 A, B, C 选项中的向量代入原式或者上面化简之后的矩阵可知，只有 C 选项中的两个向量满足条件，可以构成基础解系。

虽然基础解系并不是唯一的，但是，在自己求解基础解系的时候，一般还是要遵循一些固定的方法：

例如，在本题中，很显然，$x_1$ 和 $x_2$ 应作为非自由未知数，$x_3$ 和 $x_4$ 应作为自由未知数：

$$\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& x_3& x_4\\ 1& 0& 2& -1\\ 0& 1& -2& 2\end{array}\right]$$

一般情况下，我们零自由未知数分别为：

$$\begin{array}{l}(x_3,x_4{)}^{\mathrm{\top }}=(1,0{)}^{\mathrm{\top }}\\ \\ (x_3,x_4{)}^{\mathrm{\top }}=(0,1{)}^{\mathrm{\top }}\end{array}$$

由此可得，非自由未知数分别为：

$$\begin{array}{l}(x_1,x_2{)}^{\mathrm{\top }}=(-2,0{)}^{\mathrm{\top }}\\ \\ (x_1,x_2{)}^{\mathrm{\top }}=(0,-2{)}^{\mathrm{\top }}\end{array}$$

于是可得基础解系为：

$$\begin{array}{l}(x_1,x_2,x_3,x_4{)}^{\mathrm{\top }}=(-2,0,1,0{)}^{\mathrm{\top }}\\ \\ (x_1,x_2,x_3,x_4{)}^{\mathrm{\top }}=(0,-2,0,1{)}^{\mathrm{\top }}\end{array}$$

---