借助“盒子塌缩”理论形象化理解向量组的线性相关与无关

一、题目

已知，向量组 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathit{\alpha }}_s$ 可由向量组 ${\mathit{\beta }}_1,{\mathit{\beta }}_2,\cdots ,{\mathit{\beta }}_s$ 线性表出, 则 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,\cdots$, ${\mathit{\alpha }}_s$ 线性无关是 ${\mathit{\beta }}_1,{\mathit{\beta }}_2,\cdots ,{\mathit{\beta }}_s$ 线性无关的什么条件？

难度评级：

盒子塌缩理论

二、解析

由于这两个向量组中向量的个数是相等的，因此，由于向量组 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathit{\alpha }}_s$ 可由向量组 ${\mathit{\beta }}_1,{\mathit{\beta }}_2,\cdots ,{\mathit{\beta }}_s$ 线性表出，因此，若向量组 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathit{\alpha }}_s$ 是线性无关的，则在向量个数相同的情况下，一定是由一个线性相关的向量组得到的。

但是，由一个线性无关的向量组不一定能得到一个同样线性无关的向量组，也可能得到一个线性相关的向量组，例如：

$${\beta }_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$$

$${\beta }_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$$

则向量组 ${\beta }_1,{\beta }_2$ 线性相关。

但是：

$$2{\beta }_1+0{\beta }_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]={\alpha }_1$$

$$3{\beta }_1+0{\beta }_2=\left[\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right]={\alpha }_2$$

于是，向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性无关。

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