向量：短无关则长无关，长相关则短相关

一、题目

已知，向量组 (Ⅰ): $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(a_{11}, a_{12}, a_{13}\right)$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=\left(a_{21}, a_{21}, a_{23}\right)$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=\left(a_{31}, a_{32}, a_{33}\right)$; 向量组 (II) : $\boldsymbol{\beta}_{1}=\left(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14}\right)$, $\boldsymbol{\beta}_{2}=\left(a_{21}, a_{21}, a_{23}, a_{24}\right)$, $\boldsymbol{\beta}=\left(a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{34}\right)$, 则正确的命題是哪个？

(A) (I) 相关 $\Rightarrow$ (II) 相关

(B) (I) 无关 $\Rightarrow$ (II) 无关

(C) (II) 无关 $\Rightarrow$ (I) 无关

(D) (II) 相关 $\Rightarrow$ (I) 无关

难度评级：

二、解析

由题可知，向量组 (Ⅰ) 短（低维），向量组（Ⅱ）长（高维）。

分析：

1. 线性相关就是“相似”，线性无关就是“不相似”；

2. 如果短的向量组无关，那么，即便增加的元素都相关，得到的长向量组也是无关的；但是如果短的向量组相关，那么增加元素之后得到的长向量组是相关还是无关就不能确定了；

3. 如果长的向量组相关，那么，删除一些元素之后，向量组不相同的特征至少不会增加，因此，长向量组相关，则短向量组一定相关；但是，如果长向量组无关，删除一些元素导致不相同的特征减少之后，得到的短向量组是无关还是相关就不确定了（如果不相同的特征都删没了，那就是相关，如果还存在一些不相同的特征，那就是无关）。

综上可知，B 选项正确。

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