线性相关的行列式等于零，线性无关的行列式不等于零

一、题目

已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(1, 1, t)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1, t, 1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(t, 1,1)^{\mathrm{\top}}\right.$ 线性相关, 而 $\boldsymbol{\beta}_{1}=(1,3, 2)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\beta}_{2}=(2,7, t+4)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\beta}_{3}=(0, t+2,3)^{\mathrm{\top}}$ 线性无关, 则 $t = ?$

难度评级：

二、解析

首先：

$$
\left|\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right|=0 \Rightarrow\left|\begin{array}{lll}1 & 1 & t \\ 1 & t & 1 \\ t & 1 & 1\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
t+t+t-t^{3}-2=0 \Rightarrow
$$

$$
3 t-t^{3}-2=0 \Rightarrow
$$

$$
t\left(3-t^{2}\right)=2 \Rightarrow
$$

$$
t=1, \quad t=-2
$$

对于 $t\left(3-t^{2}\right)=2$, 一般情况下只有这几种情况，一个个试一试即可：$1 \times 2$, $2 \times 1$, $(-1) \times(-2)$, $(-2) \times(-1)$.

又：

$$
\left|\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}\right| \neq 0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 3 & 7 & t+2 \\ 2 & t+4 & 3\end{array}\right| \neq 0 \Rightarrow\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & t+2 \\ 0 & t & 3\end{array}\right| \neq 0 \Rightarrow
$$

$$
3-t(t+2) \neq 0 \Rightarrow t(t+2) \neq 3
$$

$$
t \neq 1, \quad t \neq-3
$$

于是：

$$
\left\{\begin{array}{l}t=1, \ t=-2 \\ t \neq 1, \ t \neq-3\end{array} \Rightarrow t=-2\right.
$$

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