线性相关的行列式等于零，线性无关的行列式不等于零

一、题目

已知向量组 ${\mathit{\alpha }}_1=(1,1,t{)}^{\mathrm{\top }},{\mathit{\alpha }}_2=(1,t,1{)}^{\mathrm{\top }},{\mathit{\alpha }}_3=(t,1,1{)}^{\mathrm{\top }}$ 线性相关, 而 ${\mathit{\beta }}_1=(1,3,2{)}^{\mathrm{\top }}$, ${\mathit{\beta }}_2=(2,7,t+4{)}^{\mathrm{\top }},{\mathit{\beta }}_3=(0,t+2,3{)}^{\mathrm{\top }}$ 线性无关, 则 $t=?$

难度评级：

二、解析

首先：

$$|{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3|=0\Rightarrow \left|\begin{array}{lll}1& 1& t\\ 1& t& 1\\ t& 1& 1\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$t+t+t-t^3-2=0\Rightarrow$$

$$3t-t^3-2=0\Rightarrow$$

$$t(3-t^2)=2\Rightarrow$$

$$t=1,t=-2$$

对于 $t(3-t^2)=2$, 一般情况下只有这几种情况，一个个试一试即可：$1\times 2$, $2\times 1$, $(-1)\times (-2)$, $(-2)\times (-1)$.

又：

$$|{\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3|\ne 0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 3& 7& t+2\\ 2& t+4& 3\end{array}\right|\ne 0\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& t+2\\ 0& t& 3\end{array}\right|\ne 0\Rightarrow$$

$$3-t(t+2)\ne 0\Rightarrow t(t+2)\ne 3$$

$$t\ne 1,t\ne -3$$

于是：

$$\{\begin{array}{l}t=1,t=-2\\ t\ne 1,t\ne -3\end{array}\Rightarrow t=-2$$

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