下面哪些矩阵是对称的？

一、题目

已知 $A$ 是任意一个 $n$ 阶矩阵，则以下哪些矩阵是对称的？

(1) $A + A^{⊤}$ ; (2) $A - A^{⊤}$ ; (3) $A A^{⊤}$ ; (4) $A A^{*}$ ;
(5) $A^{⊤} A$

难度评级：

注意：
1. 对称矩阵就是转置之后和转置之前完全相等的矩阵；
2. 转置运算和取逆运算都满足“脱衣法则”： $(A B)^{⊤}$ $=$ $B^{⊤} A^{⊤}$ , $(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$ .

(1) 式对称，因为：

${(A + A^{⊤})}^{⊤} =$

$A^{⊤} + {(A^{⊤})}^{⊤} = A^{⊤} + A =$

$A + A^{⊤}$

(2) 式不对称，因为：

${(A - A^{⊤})}^{⊤} =$

$A^{⊤} - {(A^{⊤})}^{⊤} =$

$A^{⊤} - A$

(3) 式对称，因为：

${(A A^{⊤})}^{⊤} =$

${(A^{⊤})}^{⊤} \cdot A^{⊤} =$

$A \cdot A^{⊤}$

(4) 式对称，因为：

${(A A^{*})}^{⊤} =$

${(A \cdot | A | \cdot A^{- 1})}^{⊤} = (| A | \cdot E)^{⊤} = E^{⊤}$

$A A^{*} = E$

$E^{⊤} = E$

(5) 式对称，因为：

${(A^{⊤} A)}^{⊤} =$

$A^{⊤} {(A^{⊤})}^{⊤} =$

$A^{⊤} A$

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