一、题目
已知 $A$ 是任意一个 $n$ 阶矩阵，则以下哪些矩阵是对称的？
(1) $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}$; (2) $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}$; (3) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}$; (4) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{*}$;
(5) $\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{A}$
难度评级：
二、解析 
注意：
1. 对称矩阵就是转置之后和转置之前完全相等的矩阵；
2. 转置运算和取逆运算都满足“脱衣法则”：$(AB)^{\top}$ $=$ $B^{\top} A^{\top}$, $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$.
(1) 式对称，因为：
$$
\left(A+A^{\top}\right)^{\top}=
$$
$$
A^{\top}+\left(A^{\top}\right)^{\top}=A^{\top}+A=
$$
$$
A+A^{\top}
$$
(2) 式不对称，因为：
$$
\left(A-A^{\top}\right)^{\top}=
$$
$$
A^{\top}-\left(A^{\top}\right)^{\top}=
$$
$$
A^{\top}-A
$$
(3) 式对称，因为：
$$
\left(A A^{\top}\right)^{\top}=
$$
$$
\left(A^{\top}\right)^{\top} \cdot A^{\top}=
$$
$$
A \cdot A^{\top}
$$
(4) 式对称，因为：
$$
\left(A A^{*}\right)^{\top}=
$$
$$
\left(A \cdot|A| \cdot A^{-1}\right)^{\top}=(|A| \cdot E)^{\top}=E^{\top}
$$
$$
A A^{*} = E
$$
$$
E^{\top} = E
$$
(5) 式对称，因为：
$$
\left(A^{\top} A\right)^{\top}=
$$
$$
A^{\top}\left(A^{\top}\right)^{\top}=
$$
$$
A^{\top} A
$$
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