数字的运算规律不能简单的套用到矩阵上

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶可逆矩阵, 则以下运算正确的是哪个？

(A) $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B})=\boldsymbol{A}^{2}-\boldsymbol{B}^{2}$

(B) $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}^{-1}$

(C) $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{2}=\boldsymbol{A}^{2}+2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{2}$

(D) $(A B)^{*}=B^{*} A^{*}$

难度评级：

二、解析

A 选项：

$$
(A+B)(A-B)=
$$

$$
A^{2}-A B+B A-B^{2}
$$

C 选项：

$$
(A+B)(A+B)=A^{2}+A B+B A+B^{2}
$$

由于 $AB$ 和 $BA$ 不一定相等，因此，A, C 选项都是错的，例如：

$$
\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 2\end{array}\right]
$$

$$
{\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right]}
$$

B 选项：

首先，即便矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 都可逆，矩阵 $A+B$ 也不一定可逆，例如：

$$
A=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right], \ B=\left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
A+B=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right]
$$

此外，即便矩阵 $A+B$ 可逆，则 $(A+B)^{-1}$ 与 $A^{-1}+B^{-1}$ 也不一定相等。

D 选项：

由于：

$$
A^{*}=|A| \cdot A^{-1}
$$

因此：

$$
(A B)^{*}=
$$

$$
|A B| \cdot(A B)^{-1}=|A||B| \cdot B^{-1} A^{-1}=
$$

$$
|A| \cdot B^{*} \cdot A^{-1}=B^{*} \cdot|A| \cdot A^{-1}=B^{*} A^{*}
$$

综上可知，D 选项正确。

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