题目 06
若：
$$
f(x)=\int_{1}^{x} \sqrt{1+t^{4}} \mathrm{~ d} t
$$
则：
$$
I=\int_{0}^{1} x^{2} f(x) \mathrm{~ d} x=?
$$
解析 06
解题方法：变上限积分几乎一定会涉及求导，而分部积分中刚好有求导的步骤，因此，含有变上限积分的题目，通常需要先凑分部积分。
$$
I=\int_{0}^{1} x^{2} f(x) \mathrm{~ d} x=\frac{1}{3} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~ d} \left(x^{3}\right) \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{1}{3}\left[\left.x^{3} f(x)\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} x^{3} f^{\prime}(x) \mathrm{~ d} x\right] \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{-1}{3} \int_{0}^{1} x^{3} \sqrt{1+x^{4}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{-1}{3} \times \frac{1}{4} \int_{0}^{1} \sqrt{1+x^{4}} \mathrm{~ d} \left(x^{4}\right) \Rightarrow
$$
令：
$$
k=x^{4} \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{-1}{12} \int_{0}^{1} \sqrt{1+k} d k \Rightarrow
$$
$$
I=\left.\frac{-1}{12} \cdot \frac{2}{3}(1+k)^{\frac{3}{2}}\right|_{0} ^{1}=\frac{-1}{12} \cdot \frac{2}{3}(2 \sqrt{2}-1) \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{(1-2 \sqrt{2})}{18}
$$