高等数学定积分补充例题（三角代换、扩展的点火公式、区间再现、分部积分、sin 不够用 cos 来凑）

题目 06

若：

$$f(x)={\int }_1^x\sqrt{1+t^4}\mathrm{d}t$$

则：

$$I={\int }_0^1{x}^{2}f(x)\mathrm{d}x=?$$

解析 06

解题方法：变上限积分几乎一定会涉及求导，而分部积分中刚好有求导的步骤，因此，含有变上限积分的题目，通常需要先凑分部积分。

$$I={\int }_0^1{x}^{2}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{3}{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}\left(x^3\right)\Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{3}[{x^{3}f(x)|}_0^1-{\int }_0^1{x}^3{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x]\Rightarrow$$

$$I=\frac{-1}{3}{\int }_0^1{x}^3\sqrt{1+x^4}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$I=\frac{-1}{3}\times \frac{1}{4}{\int }_0^1\sqrt{1+x^4}\mathrm{d}\left(x^4\right)\Rightarrow$$

令：

$$k=x^4\Rightarrow$$

$$I=\frac{-1}{12}{\int }_0^1\sqrt{1+k}dk\Rightarrow$$

$$I={\frac{-1}{12}\cdot \frac{2}{3}(1+k{)}^{\frac{3}{2}}|}_0^1=\frac{-1}{12}\cdot \frac{2}{3}(2\sqrt{2}-1)\Rightarrow$$

$$I=\frac{(1-2\sqrt{2})}{18}$$