高等数学定积分补充例题（三角代换、扩展的点火公式、区间再现、分部积分、sin 不够用 cos 来凑）

题目 04

$$I={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\sin }^{2}x}{1+e^x}\mathrm{d}x=?$$

解析 04

解题方法：对称积分区间上的区间再现。

令：

$$x=-t\Rightarrow t\in (\frac{\pi }{2},\frac{-\pi }{2})\Rightarrow \mathrm{d}x=-\mathrm{d}t$$

于是：

$$I={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\sin }^{2}x}{1+e^x}\mathrm{d}x$$

$$I=-{\int }_{\frac{\pi }{2}}^{-\frac{\pi }{2}}\frac{{\sin }^{2}t}{1+e^{-t}}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$I={\int }_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\sin }^{2}t}{\frac{e^t}{e^t}+\frac{1}{e^t}}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$I={\int }_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{e^t{\sin }^{2}t}{e^t+1}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$2I={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\sin }^{2}x+e^t{\sin }^{2}t}{e^t+1}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{2}{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}t\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{2}\times 2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}t\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4}$$