题目 04
$$
I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{2} x}{1+e^{x}} \mathrm{~ d} x=?
$$
解析 04
解题方法：对称积分区间上的区间再现。
令：
$$
x=-t \Rightarrow t \in\left(\frac{\pi}{2}, \frac{-\pi}{2}\right) \Rightarrow \mathrm{~ d} x=-\mathrm{~ d} t
$$
于是：
$$
I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{2} x}{1+e^{x}} \mathrm{~ d} x
$$
$$
I=-\int_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{2} t}{1+e^{-t}} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
$$
I=\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{2} t}{\frac{e^{t}}{e^{t}}+\frac{1}{e^{t}}} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
$$
I=\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{e^{t} \sin ^{2} t}{e^{t}+1} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
$$
2 I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{2} x+e^{t} \sin ^{2} t}{e^{t}+1} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} t \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{1}{2} \times 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} t \mathrm{~ d} t=\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}
$$