题目 03
$$
I=\int_{0}^{\pi} x \sin ^{9} x \mathrm{~ d} x=?
$$
解析 03
解题方法：扩展的点火公式。
$$
I=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \sin ^{9} x \mathrm{~ d} x=\frac{\pi}{2} \times 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{9} x \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{\pi}{2} \times 2 \times\left(\frac{8}{9} \times \frac{6}{7} \times \frac{4}{5} \times \frac{2}{3} \times 1\right) \Rightarrow
$$
$$
I=\pi \times \frac{8 \times 6 \times 4 \times 2}{9 \times 7 \times 5 \times 3} \Rightarrow
$$
$$
I=\pi \times \frac{8 \times 2 \times 4 \times 2}{3 \times 7 \times 5 \times 3} \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{128 \pi}{315}
$$