高等数学定积分补充例题（三角代换、扩展的点火公式、区间再现、分部积分、sin 不够用 cos 来凑）

题目 03

$$I={\int }_0^{\pi }x{\sin }^{9}x\mathrm{d}x=?$$

解析 03

解题方法：扩展的点火公式。

$$I=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }{\sin }^{9}x\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}\times 2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{9}x\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$I=\frac{\pi }{2}\times 2\times (\frac{8}{9}\times \frac{6}{7}\times \frac{4}{5}\times \frac{2}{3}\times 1)\Rightarrow$$

$$I=\pi \times \frac{8\times 6\times 4\times 2}{9\times 7\times 5\times 3}\Rightarrow$$

$$I=\pi \times \frac{8\times 2\times 4\times 2}{3\times 7\times 5\times 3}\Rightarrow$$

$$I=\frac{128\pi }{315}$$