考研数学不定积分补充例题

题目 06

$$I=\int x\arcsin x\mathrm{d}x=?$$

解析 06

本题主要解题思路为：凑分部积分、三角代换去根号。

$$I=\frac{1}{2}\int \arcsin x\mathrm{d}\left(x^2\right)\Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{2}[x^2\arcsin x-\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x]$$

又：

$$\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x\Rightarrow x=\sin t\Rightarrow \mathrm{d}x=\cos t\mathrm{d}t$$

$$1-x^2=1-{\sin }^{2}t={\cos }^{2}t\Rightarrow$$

$$\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=\int \frac{{\sin }^{2}t}{{\cos }^{2}t}\cdot \cos t\mathrm{d}t=$$

$$\int {\sin }^{2}t\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\int (1-\cos 2t)\mathrm{d}t=$$

$$\frac{1}{2}[t-\frac{1}{2}\sin 2t]=\frac{1}{2}t-\frac{1}{4}\cdot 2\sin t\cos t\Rightarrow$$

又：

$$x=\sin t\Rightarrow t=\arcsin x\Rightarrow$$

于是：

$$\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=\frac{\arcsin x}{2}-\frac{1}{2}x\cos (\arcsin x)+C$$

又由《cos(arcsin x) 和 sin(arccos x) 等于多少？》这篇文章可知：

$$b=\arcsin x\Rightarrow x=\sin b\Rightarrow$$

$${\sin }^{2}b+{\cos }^{2}b=1\Rightarrow \cos b=\sqrt{1-x^2}\Rightarrow$$

于是：

$$\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=\frac{\arcsin x}{2}-\frac{x\sqrt{1-x^2}}{2}+C$$