题目 06
$$
I=\int x \arcsin x \mathrm{~d} x=?
$$
解析 06
本题主要解题思路为：凑分部积分、三角代换去根号。
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I=\frac{1}{2} \int \arcsin x \mathrm{~ d} \left(x^{2}\right) \Rightarrow
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I=\frac{1}{2}\left[x^{2} \arcsin x-\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x\right]
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又：
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\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x \Rightarrow x=\sin t \Rightarrow \mathrm{~d} x=\cos t \mathrm{~d} t
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1-x^{2}=1-\sin ^{2} t=\cos ^{2} t \Rightarrow
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\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x=\int \frac{\sin ^{2} t}{\cos ^{2} t} \cdot \cos t \mathrm{~d} t=
$$
$$
\int \sin ^{2} t \mathrm{~d} t=\frac{1}{2} \int(1-\cos 2 t) \mathrm{~d} t=
$$
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\frac{1}{2}\left[t-\frac{1}{2} \sin 2 t\right]=\frac{1}{2} t-\frac{1}{4} \cdot 2 \sin t \cos t \Rightarrow
$$
又：
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x=\sin t \Rightarrow t=\arcsin x \Rightarrow
$$
于是：
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\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x=\frac{\arcsin x}{2}-\frac{1}{2} x \cos (\arcsin x)+C
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又由《cos(arcsin x) 和 sin(arccos x) 等于多少？》这篇文章可知：
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b=\arcsin x \Rightarrow x=\sin b \Rightarrow
$$
$$
\sin ^{2} b+\cos ^{2} b=1 \Rightarrow \cos b=\sqrt{1-x^{2}} \Rightarrow
$$
于是：
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\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x=\frac{\arcsin x}{2}-\frac{x \sqrt{1-x^{2}}}{2}+C
$$