考研数学不定积分补充例题

题目 05

$$I=\int \frac{1}{1+\sin x+\cos x}\mathrm{d}x=?$$

解析 05

本题主要解题思路为：$\tan$ 代换 $\sin$ 和 $\cos$。

根据《sin(arctan x) 和 cos(arctan x) 怎么算？一张图让你秒懂！》这篇文章可知，令：

$$t=\tan \frac{x}{2}\Rightarrow x=2\arctan t\Rightarrow$$

$$\sin (2\arctan t)=\frac{2t}{1+t^2}=\sin x$$

$$\cos (2\arctan t)=\frac{1-t^2}{1+t^2}=\cos x$$

$$\tan (2\arctan t)=\frac{2t}{1-t^2}=\tan x$$

则：

$$I=\int \frac{1}{1+\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}}\mathrm{d}(2\arctan t)\Rightarrow$$

$$I=\int \frac{1}{\frac{1+t^2+2t+1-t^2}{1+t^2}}2\cdot \frac{1}{1+t^2}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$I=\int \frac{1+t^2}{2+2t}\cdot \frac{2}{1+t^2}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$I=\int \frac{1}{t+1}\mathrm{d}t=\ln |t+1|+C\Rightarrow$$

$$I=\ln |\tan \frac{x}{2}+1|+C$$