题目 05
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I=\int \frac{1}{1+\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x=?
$$
解析 05
本题主要解题思路为：$\tan$ 代换 $\sin$ 和 $\cos$。
根据《sin(arctan x) 和 cos(arctan x) 怎么算？一张图让你秒懂！》这篇文章可知，令：
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t=\tan \frac{x}{2} \Rightarrow x=2 \arctan t \Rightarrow
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\sin (2 \arctan t)=\frac{2 t}{1+t^{2}}=\sin x
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\cos (2 \arctan t)=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}=\cos x
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\tan (2 \arctan t)=\frac{2 t}{1-t^{2}}=\tan x
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则：
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I=\int \frac{1}{1+\frac{2 t}{1+t^{2}}+\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}} \mathrm{~d} (2 \arctan t) \Rightarrow
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I=\int \frac{1}{\frac{1+t^{2}+2 t+1-t^{2}}{1+t^{2}}} 2 \cdot \frac{1}{1+t^{2}} \mathrm{~d} t \Rightarrow
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I=\int \frac{1+t^{2}}{2+2 t} \cdot \frac{2}{1+t^{2}} \mathrm{~d} t \Rightarrow
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I=\int \frac{1}{t+1} \mathrm{~d} t=\ln |t+1|+C\Rightarrow
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I = \ln \left|\tan \frac{x}{2}+1\right|+C
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