典型例题汇总:定积分(奇偶性、几何意义、三角代换、区间再现) 题目 09 已知: f′(x)=arctan[(x−1)2],f(0)=0⇒ 则: I=∫01f(x) dx=? 解析 09 把“未知”往“已知”形式上凑: I=∫01f(x) dx=∫01f(x) d(x−1)= (x−1)f(x)|01−∫01(x−1)f′(x) dx⇒ I=−∫01(x−1)arctan[(x−1)2] d(x−1) 又: [(x−1)2]′=2(x−1)⇒ 于是: I=−12∫01arctan[(x−1)2] d[(x−1)2]⇒ u=(x−1)2⇒x∈(0,1)⇒u∈(1,0)⇒ I=−12∫10arctanu du⇒ I=12∫01arctanu du⇒ 12[uarctanu|01−∫01u⋅11+u2 du]⇒ 12[π4−12ln(u2+1)|01]⇒ I=12[π4−12ln2]⇒I=π8−14ln2 页码: 页 1, 页 2, 页 3, 页 4, 页 5, 页 6, 页 7, 页 8, 页 9, 页 10