典型例题汇总:定积分(奇偶性、几何意义、三角代换、区间再现)

题目 09

已知:

f(x)=arctan[(x1)2],f(0)=0

则:

I=01f(x) dx=?

解析 09

把“未知”往“已知”形式上凑:

I=01f(x) dx=01f(x) d(x1)=

(x1)f(x)|0101(x1)f(x) dx

I=01(x1)arctan[(x1)2] d(x1)

又:

[(x1)2]=2(x1)

于是:

I=1201arctan[(x1)2] d[(x1)2]

u=(x1)2x(0,1)u(1,0)

I=1210arctanu du

I=1201arctanu du

12[uarctanu|0101u11+u2 du]

12[π412ln(u2+1)|01]

I=12[π412ln2]I=π814ln2


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