典型例题汇总:定积分(奇偶性、几何意义、三角代换、区间再现) 题目 08 ?I=∫01ln(1+x)1+x2 dx=? 解析 08 尝试用区间再现,但发现走不通: t=1−x⇒x=1−t⇒t∈(1,0)⇒ I=−∫10ln(2−t)1+(1−t)2 dt 由于 1+x2 属于“一个常数加上一个变量的平方”,符合使用 tan 做三角代换的形式,因此,令: x=tant⇒tant∈(0,1)⇒t∈(0,π4)⇒ 1+t2=1+sin2tcos2t=1cos2t (tant)′=1cos2t⇒ 于是: I=∫0π4ln(1+tant)1cos2t⋅1cos2t dt⇒ I=∫0π4ln(1+tant) dt⇒ 又有公式: tan(α±β)=tanα±tanβ1∓tanα⋅tanβ⇒ 于是,令: t=π4−u⇒u=π4−t⇒u∈(π4,0) 得: tan(π4−u)=tanπ4−tanu1+tanπ4⋅tanu⇒ tan(π4−u)=1−tanu1+tanu⇒ 于是: I=−∫π40ln(1+1−tanu1+tanu) du⇒ I=∫0π4ln(1+tanu1+tanu+1−tanu1+tanu) du⇒ I=∫0π4ln(21+tanu) du⇒ I=∫0π4[ln2−ln(1+tanu)] du⇒ I=ln2∫0π41 du−∫0π4ln(1+tanu) du⇒ I=π4ln2−∫0π4ln(1+tanu) du⇒ I=π4ln2−∫0π4ln(1+tant) dt⇒ I=π4ln2−I⇒2I=π4ln2⇒ I=π8ln2 页码: 页 1, 页 2, 页 3, 页 4, 页 5, 页 6, 页 7, 页 8, 页 9, 页 10