典型例题汇总:定积分(奇偶性、几何意义、三角代换、区间再现)

题目 08

I=01ln(1+x)1+x2 dx=

解析 08

尝试用区间再现,但发现走不通:

t=1xx=1tt(1,0)

I=10ln(2t)1+(1t)2 dt

由于 1+x2 属于“一个常数加上一个变量的平方”,符合使用 tan 做三角代换的形式,因此,令:

x=tanttant(0,1)t(0,π4)

1+t2=1+sin2tcos2t=1cos2t

(tant)=1cos2t

于是:

I=0π4ln(1+tant)1cos2t1cos2t dt

I=0π4ln(1+tant) dt

又有公式:

tan(α±β)=tanα±tanβ1tanαtanβ

于是,令:

t=π4uu=π4tu(π4,0)

得:

tan(π4u)=tanπ4tanu1+tanπ4tanu

tan(π4u)=1tanu1+tanu

于是:

I=π40ln(1+1tanu1+tanu) du

I=0π4ln(1+tanu1+tanu+1tanu1+tanu) du

I=0π4ln(21+tanu) du

I=0π4[ln2ln(1+tanu)] du

I=ln20π41 du0π4ln(1+tanu) du

I=π4ln20π4ln(1+tanu) du

I=π4ln20π4ln(1+tant) dt

I=π4ln2I2I=π4ln2

I=π8ln2


荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress