题目 07
$$
I=\int_{0}^{2} \frac{x}{e^{x}+e^{2-x}} \mathrm{~ d} x = ?
$$
解析 07
区间再现：
$$
t=2-x \Rightarrow x=2-t \Rightarrow t \in(2,0)
$$
$$
I=\int_{0}^{2} \frac{x}{e^{x}+e^{2-x}} \mathrm{~ d} x=-\int_{2}^{0} \frac{2-t}{e^{2-t}+e^{t}} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
$$
I=\int_{0}^{2} \frac{2-x}{e^{2-x}+e^{x}} \mathrm{~ d} x
$$
于是：
$$
I=2 \int_{0}^{2} \frac{1}{e^{x}+e^{2-x}} \mathrm{~ d} x-\int_{0}^{2} \frac{x}{e^{x}+e^{2-x}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$
$$ I=2 \int_{0}^{2} \frac{1}{e^{x}+e^{2-x}} \mathrm{~ d} x-I \Rightarrow
$$
$$ I=\int_{0}^{2} \frac{1}{e^{x}+e^{2-x}} \mathrm{~ d} x=\int_{0}^{2} \frac{1}{e^{x}+\frac{e^{2}}{e^{x}}} \mathrm{~ d} x=x
$$
$$ I=\int_{0}^{2} \frac{1}{\frac{e^{2 x}+e^{2}}{e^{x}}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$
$$ I=\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{e^{2 x}+e^{2}} \mathrm{~ d} x
$$
由于：
$$
\left(e^{2 x}+e^{2}\right)^{\prime}=2 e^{2 x}
$$
因此，不能用 $e^{2 x}+e^{2}$ 凑微分。
进而尝试另一种凑微分：
$$
I=\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{e^{2 x}+e^{2}} \mathrm{~ d} x=\int_{0}^{2} \frac{\mathrm{~ d} \left(e^{x}\right)}{e^{2 x}+e^{2}}
$$
令：
$$
t=e^{x} \Rightarrow t \in\left(1, e^{2}\right) \Rightarrow
$$
$$
I=\int_{1}^{e^{2}} \frac{\mathrm{~ d} t}{t^{2}+e^{2}}=\int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{e^{2}\left[1+\left(\frac{t}{e}\right)^{2}\right]} e \cdot \mathrm{~ d} \left(\frac{t}{e}\right)
$$
$$
I=\frac{1}{e^{2}} \cdot e \cdot \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{1+\left(\frac{t}{e}\right)^{2}} \mathrm{~ d} \left(\frac{t}{e}\right) \Rightarrow
$$
$$
I=\left.\frac{1}{e} \arctan \left(\frac{t}{e}\right)\right|_{1} ^{e^{2}} \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{1}{e}\left[\arctan e-\arctan \frac{1}{e}\right]
$$